數學要素(全彩圖解 + 微課 + Python編程)

薑偉生

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商品描述

數據科學和機器學習已經深度融合到我們生活的方方面面,而數學正是開啟未來大門的鑰匙。不是所 有人生來都握有一副好牌,但是掌握“數學 + 編程 + 機器學習”絕對是**。這次,學習數學不再是為了考試、分數、升學,而是投資時間、自我實現、面向未來。為了讓大家學數學、用數學,甚至愛上數學, 在創作這套書時,作者盡量剋服傳統數學教材的各種弊端,讓大家學習時有興趣、看得懂、有思考、更自信、用得著。 《數學要素:全彩圖解 + 微課 + Python編程》打破數學板塊的藩籬,將算數、代數、線性代數、幾何、解析幾何、概率統計、微積分、優化方法等板塊有機結合在一起。從加、減、乘、除四則運算講起,主要內容包括:第 1、2 章講解向量和矩陣的基本運算;第 3 章講解常用幾何知識;第 4 章講解代數知識;第 5、6 兩章介紹坐標系;第 7、8、9 三章介紹解析幾何;第 10 章到第 14 章都是圍繞函數展開;第 15 章到第 19 章講解微積分以及優化問題內容;第20、21 兩章是概率統計入門;《數學要素:全彩圖解 + 微課 + Python編程》最後四章以線性代數收尾。 《數學要素:全彩圖解 + 微課 + Python編程》內容編排上突出“圖解 + 編程 + 機器學習應用”。講解一些特定數學工具時,《數學要素:全彩圖解 + 微課 + Python編程》會穿插介紹其在數據科學和機器學習領域應用場景,讓大家學以致用。 《數學要素:全彩圖解 + 微課 + Python編程》雖標榜“從加減乘除到機器學習”,但是建議讀者至少具備高中數學知識。如果讀者正在學習或曾經學過大學數學 ( 微積分、線性代數、概率統計 ),就更容易讀了。

目錄大綱

緒論 1

 

第1章   萬物皆數 7

 

1.1 數字和運算:人類思想的偉大飛躍 9

1.2 數字分類:從復數到自然數 11

1.3 加減:最基本的數學運算 15

1.4 向量:數字排成行、列 18

1.5 矩陣:數字排列成長方形 19

1.6 矩陣:一組列向量,或一組行向量 23

1.7 矩陣形狀:每種形狀都有特殊性質和用途 25

1.8 矩陣加減:形狀相同,對應位置,批量加減 26

 

 

第2章   乘除 29

 

2.1 算術乘除:先乘除,後加減,括號內先算 31

2.2 向量乘法:標量乘法、向量內積、逐項積 34

2.3 矩陣乘法:最重要的線性代數運算規則 36

2.4 矩陣乘法第一視角 40

2.5 矩陣乘法第二視角 43

2.6 矩陣除法:計算逆矩陣 46

 

 

第3章   幾何 49

 

3.1 幾何緣起:根植大地,求索星空 51

3.2 點動成線,線動成面,面動成體 54

3.3 角度和弧度 60

3.4 勾股定理到三角函數 62

3.5 圓周率估算初賽:割圓術 64

 

 

第4章   代數 69

 

4.1 代數的前世今生:薪火相傳 71

4.2 集合:確定的一堆東西 72

4.3 從代數式到函數 75

4.4 楊輝三角:代數和幾何的完美合體 79

4.5 排列組合讓二項式系數更具意義 82

4.6 楊輝三角隱藏的數字規律 85

4.7 方程組:求解雞兔同籠問題 86

 

 

第5章   笛卡兒坐標系 91

 

5.1 笛卡兒:我思故我在 93

5.2 坐標系:代數可視化,幾何參數化 94

5.3 圖解“雞兔同籠”問題 100

5.4 極坐標:距離和夾角 102

5.5 參數方程:引入一個參數 103

5.6 坐標系必須是“橫平豎直的方格”? 104

 

 

第6章   三維坐標系 107

 

6.1 三維直角坐標系 109

6.2 空間平面:三元一次方程 110

6.3 空間直線:三元一次方程組 114

6.4 不等式:劃定區域 117

6.5 三大類不等式:約束條件 120

6.6 三維極坐標 126

 

 

第7章   距離 131

 

7.1 距離:未必是兩點間最短線段 132

7.2 歐氏距離:兩點間最短線段 134

7.3 點到直線的距離 140

7.4 等距線:換個視角看距離 144

7.5 距離間的量化關系 146

 

 

第8章   圓錐曲線 149

 

8.1 圓錐曲線外傳 150

8.2 圓錐曲線:對頂圓錐和截面相交 152

8.3 正圓:特殊的橢圓 155

8.4 橢圓:機器學習的多面手 157

8.5 旋轉橢圓:幾何變換的結果 160

8.6 拋物線:不止是函數 164

8.7 雙曲線:引力彈弓的軌跡 166

 

 

第9章   深入圓錐曲線 169

 

9.1 圓錐曲線:探索星辰大海 171

9.2 離心率:聯系不同類型圓錐曲線 172

9.3 一組有趣的圓錐曲線 173

9.4 特殊橢圓:和給定矩形相切 175

9.5 超橢圓:和範數有關 179

9.6 雙曲函數:基於單位雙曲線 184

9.7 圓錐曲線的一般形式 186

 

 

第10章   函數 191

 

10.1 當代數式遇到坐標系 193

10.2 一元函數:一個自變量 194

10.3 一元函數性質 197

10.4 二元函數:兩個自變量 202

10.5 降維:二元函數切一刀得到一元函數 205

10.6 等高線:由函數值相等點連成 208

 

 

第11章   代數函數 211

 

11.1 初等函數:數學模型的基礎 212

11.2 一次函數:一條斜線 214

11.3 二次函數:一條拋物線 218

11.4 多項式函數:從疊加角度來看 221

11.5 冪函數:底數為自變量 224

11.6 分段函數:不連續函數 228

 

 

第12章   超越函數 231

 

12.1 指數函數:指數為自變量 233

12.2 對數函數:把連乘變成連加 235

12.3 高斯函數:高斯分佈之基礎 238

12.4 邏輯函數:在0和1之間取值 240

12.5 三角函數:周期函數的代表 243

12.6 函數變換:平移、縮放、對稱 246

 

 

第13章   二元函數 251

 

13.1 二元一次函數:平面 253

13.2 正圓拋物面:等高線為正圓 257

13.3 橢圓拋物面:等高線為橢圓 260

13.4 雙曲拋物面:馬鞍面 264

13.5 山谷和山脊:無數極值點 265

13.6 錐面:正圓拋物面開方 267

13.7 絕對值函數:與超橢圓有關 269

13.8 邏輯函數:從一元到二元 272

13.9 高斯函數:機器學習的多面手 274

 

 

第14章   數列 277

 

14.1 芝諾悖論:阿基裡斯追不上烏龜 279

14.2 數列分類 281

14.3 等差數列:相鄰兩項差相等 282

14.4 等比數列:相鄰兩項比值相等 284

14.5 斐波那契數列 287

14.6 累加:大寫西格瑪 288

14.7 數列極限:微積分的一塊基石 299

14.8 數列極限估算圓周率 301

 

 

第15章   極限和導數 305

 

15.1 牛頓小傳 307

15.2 極限:研究微積分的重要數學工具 308

15.3 左極限、右極限 310

15.4 幾何視角看導數:切線斜率 312

15.5 導數也是函數 315

 

 

第16章   偏導數 323

 

16.1 幾何角度看偏導數 325

16.2 偏導也是函數 329

16.3 二階偏導:一階偏導函數的一階偏導 330

16.4 二元曲面的駐點:一階偏導為0 333

 

 

第17章   微分 337

 

17.1 幾何角度看微分:線性近似 338

17.2 泰勒級數:多項式函數近似 340

17.3 多項式近似和誤差 343

17.4 二元泰勒展開:用多項式曲面近似 348

17.5 數值微分:估算一階導數 352

 

 

第18章   積分 355

 

18.1 萊布尼茨:既生瑜,何生亮 357

18.2 從小車勻加速直線運動說起 357

18.3 一元函數積分 358

18.4 高斯函數積分 361

18.5 誤差函數:S型函數的一種 362

18.6 二重積分:類似二重求和 363

18.7 “偏積分”:類似偏求和 365

18.8 估算圓周率:牛頓法 367

18.9 數值積分:黎曼求積 371

 

 

第19章   優化入門 377

 

19.1 優化問題:尋找山峰、山谷 379

19.2 構造優化問題 380

19.3 約束條件:限定搜索區域 383

19.4 一元函數的極值點判定 389

19.5 二元函數的極值點判定 393

 

 

第20章   概率入門 401

 

20.1 概率簡史:出身賭場 402

20.2 二叉樹:一生二、二生三 403

20.3 拋硬幣:正反面概率 407

20.4 聊聊概率:向上還是向下 409

20.5 一枚質地不均勻的硬幣 411

20.6 隨機中有規律 413

 

 

第21章   統計入門 417

 

21.1 統計的前世今生:強國知十三數 418

21.2 散點圖:當數據遇到坐標系 419

21.3 均值:集中程度 421

21.4 標準差:離散程度 424

21.5 協方差:聯合變化程度 425

21.6 線性相關系數:線性關系強弱 429

 

 

第22章   向量 435

 

22.1 向量:有大小、有方向 436

22.2 幾何視角看向量運算 439

22.3 向量簡化距離運算 441

22.4 向量內積與向量夾角 443

22.5 二維到三維 445

22.6 投影:影子的長度 446

 

 

第23章   雞兔同籠1 453

 

23.1    從雞兔同籠說起 454

23.2    “雞”向量與“兔”向量 456

23.3    那幾只毛絨耳朵 459

23.4    “雞兔”套餐 460

23.5 套餐轉換:基底轉換 463

23.6 豬引發的投影問題 464

23.7 黃鼠狼驚魂夜:“雞飛兔脫”與超定方程組 466

 

 

第24章   雞兔同籠2 469

 

24.1 雞兔數量的有趣關系 470

24.2 試試比例函數:y = ax 471

24.3 最小二乘法 473

24.4 再試試一次函數:y = ax + b 477

24.5 再探黃鼠狼驚魂夜:超定方程組 479

24.6 統計方法求解回歸參數 483

 

 

第25章   雞兔同籠3 485

 

25.1    雞兔互變奇妙夜 486

25.2    第一視角:“雞/兔→雞”和“雞/兔→兔” 489

25.3    第二視角:“雞→雞/兔”和“兔→雞/兔” 491

25.4 連續幾夜雞兔轉換 493

25.5 有向量的地方,就有幾何 496

25.6    彩蛋 498