「1+1」也不簡單，100個數學基本問題：黎曼猜想、歌德巴赫猜想、費馬定理……解答之前，先挑戰看懂題目！

問題有一百個，答案卻不只一百種？
從牛吃草到柯尼斯堡七橋
看懂題目，只算過了第一關！
 
▎一百個問題，打開數學思考的大門
數學不只是公式、定理與計算，更是一連串從問題出發的思考過程。本書專為高中生、大學低年級學生，以及對數學抱有興趣的青少年讀者編寫，精選100個兼具經典性、趣味性與挑戰性的數學問題。這些題目有些看似簡單，真正深入思考後，卻會發現其中藏著巧妙的推理方法與數學觀念；有些甚至曾吸引歷代數學家投入研究。讀者可以從一道道問題開始，嘗試找出突破口，在推演、驗證與重新思考之間，逐漸體會數學探索的樂趣。
 
▎從算術到拓撲，走過各大數學領域
 
全書內容涵蓋算術、代數與組合、幾何與拓撲、分析，以及集合論，呈現數學不同領域的思考方式。從數字與運算的規律，到代數關係與組合方法；從平面、空間中的幾何問題，到拓撲所關心的結構與性質；再延伸至分析、集合等較進階的數學觀念。這些問題並非單純按照難度堆疊，而是透過不同類型的命題，讓讀者接觸數學家如何定義問題、尋找規律、提出猜想，再以嚴密的邏輯逐步逼近答案。
 
▎經典命題背後，也有一段數學史
書中不只有解題步驟，也介紹問題背景與相關數學史。費馬定理、柯尼斯堡七橋等著名命題，之所以成為經典，不只因為答案本身，更因為它們曾引出新的思考方向，甚至促成數學領域的發展。透過這些故事，讀者可以看見，一個看似單純的問題如何被提出、爭論與破解，也能理解數學知識並非憑空出現，而是在一代代數學家的嘗試與推演中逐漸形成。解一道題的同時，也是在接觸它背後的思想脈絡。
 
▎不只求出答案，更要知道為什麼
每個問題皆附有清楚解析與必要的背景說明，幫助讀者掌握解題關鍵，而不只是記住最後答案。對希望提升解題能力的中學生而言，可以藉此練習拆解條件、轉換思路與邏輯推演；對剛進入大學、想重新建立數學觀念的讀者來說，也能藉由經典問題接觸更廣泛的數學領域。從一道題想到另一種方法，從一個答案追問背後的理由，本書希望帶領讀者逐步建立數學直覺與思考能力，也在百道問題之中，發現數學真正迷人的地方。
 
本書特色：本書專為高中生、大學低年級學生與數學愛好者編寫，精選100個經典且具挑戰性的數學問題，包括費馬定理、柯尼斯堡七橋等命題，帶領讀者掌握解題思路、邏輯推演與數學技巧。每題附解析與背景，並穿插數學史故事，讓讀者不只學會解題，也能理解概念如何提出與發展，在思考與探索中培養數學直覺，感受數學的趣味與創造力。

<序>

再版前言
　　拙作首版自2004年1月出版以來，受到了廣大讀者的歡迎與厚愛。在此期間，不少熱心讀者給筆者提出了許多寶貴的改進意見。特別需要指出的是，數學在最近20年得到了迅速發展，很多重大數學問題得以解決或取得突破性進展。例如，2013年華人數學家張益唐在孿生質數猜想的研究上取得了歷史性的重大成果；同年法國數學家黑爾夫戈特（H. A. Helfgott）徹底攻克了奇數哥德巴赫猜想；2022年菲爾茲獎得主英國數學家梅納德（J. Maynard）與其合作者於2024年在黎曼猜想的研究上取得了全新的突破。鑒於數學的許多新進展和新成果，首版中很多內容都需要更新和改寫甚至重寫。因此，決定再版。利用這次再版機會，本書主要做了以下幾個方面的改動：
　　（1）重寫了不少數學問題，如梅森數、完全數、相親數、孿生質數猜想、海龍公式、歐拉平面網路公式等；
　　（2）改寫了許多數學問題的內容，如費馬數、哥德巴赫猜想、正多面體、立方倍積問題、三等分任意角問題、黃金分割問題、阿基米德螺線、蜂房問題、數學中的諾貝爾獎等；
　　（3）修改了幾個數學問題的標題，如原先的「中國剩餘問題」改為「中國剩餘定理」，「托勒密問題」改為「托勒密定理」，「無處可微的連續函數」改為「無處可導的連續函數」等，這樣更準確、更規範；
　　（4）糾正了書中一些錯誤，包括數學符號和文字表述等方面。
　　在本書這次再版過程中，筆者首先要特別感謝郝成秀老師，他花費了大量的時間和精力，仔細閱讀了原稿中所有內容，就數學知識的準確性、語言文字表述的規範性、內容的取捨和考證等方面，都提出了非常寶貴的建議；其次，也要感謝郝成功老師、王光老師以及張勤海老師，他們在本書的寫作和修改過程中都給予筆者很多的指導和鼓勵；最後，筆者衷心感謝清華大學出版社，特別是胡洪濤編輯，對本書再版給予了熱情支持和惠助！

<內容連載>

001　算術基本定理
　　每個大於1的正整數均可唯一地表為質數的乘積。
　　大數學家高斯曾說：「數學是科學的王后，而數論則是數學的王后。」這句話雖然流露出高斯對數論的過分偏愛，但也表明數論在數學家心目中的崇高地位。從古希臘的歐幾里得開始，幾千年來許多數學家都對數論產生過濃厚的興趣，並進行了大量深入的研究。時至今日，儘管數學已經發展成為一門內容龐大、應用廣泛的學科，但還有很多在敘述上簡明易懂的關於正整數的問題未得到完全的解決，這真令人感到不可思議。特別是其中的一些數論問題（如哥德巴赫猜想）幾乎是家喻戶曉，幾百年來它們像謎一樣吸引著數學家以及無數的數學愛好者。
　　在正整數或正整數的理論中，有一類稱為質數的數扮演著非常重要的角色。質數在正整數理論中的地位類似於元素在化學中或基本粒子在物理學中的地位。我們知道，質數是指那些大於1且除了1和它自身外再沒有其他因數的正整數。前10個質數為
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29
　　如果一個正整數具有除了自身和1以外的其他因數，則稱為合數。這樣，可以把所有的正整數分成三類：1，質數，合數。
　　質數的重要性首先表現在數的乘法分解方面。因為每個大於1的正整數a，如果本身不是質數，則存在不等於a和1的因數b，此時可令a=bc，其中b，c都大於1。如果b（或c）不是質數，則重複這種分解過程，又可分解出b=b1b2（或c=c1c2），顯然a>b>b1>1（或a>c>c1>1）。這個分解過程不能無限地重複下去，換句話說，有限步後就可以把a分解成一些質數的乘積。我們得到的結論是：每個大於1的正整數均可表示為若干質數的乘積。從這個意義上講，質數是構成正整數的基本元素。因此，在正整數理論中遇到的許多命題大多能歸結為有關質數的研究，也就不足為奇了。
　　算術基本定理的內容由兩部分構成：①分解的存在性，指的是每個大於1的正整數均可分解成一些質數的乘積；②分解的唯一性，即如果不考慮諸質數的排列順序，則把正整數分解成質數乘積的方式還是唯一的。例如，21的質數分解只有21=3×7和21=7×3，但本質上屬於同一種分解。算術基本定理是整數理論中最為基本的一個命題，也是許多其他命題的邏輯支撐點和出發點。上面已經證明了分解的存在性部分，其唯一性部分看起來似乎是顯而易見的，但要嚴格地證明它卻絕非易事。雖然它的證明較為初等，卻需要精細的推理過程，這充分反映了數學學科所特有的思維風格。

　先介紹西元前300年的歐幾里得在其巨著《幾何原本》中所給的證明。下面只考慮正整數。如果d既是a的一個因數，又是b的一個因數，則稱d為a和b的一個公因數。在a和b的所有公因數中的最大者稱為最大公因數，記為（a，b）。歐幾里得發明了一種「輾轉相除法」，用來求兩個正整數的最大公因數，從此導出了一個十分重要的結論：如果d是a和b的最大公因數，則存在整數x和y滿足d=ax+by。這個結論從現代數學的觀點也是非常基本的，如果讀者熟悉近世代數，它相當於說全體整數構成的集合不僅是一個環，而且是一個主理想整環。這裡當然不會使用這個近代的結論，而是要從歐幾里得發現的這個最大公因數的表示公式出發去證明質數的一個基本性質：設p為質數，如果p整除兩個正整數a和b的乘積，則p必整除其一，即p整除a或者p整除b。
　　顯然，如果p不整除a，則p和a的最大公因數不是p，但p為質數，表明p和a的最大公因數只能為1。根據上述歐幾里得導出的結論，存在整數x和y使得1=px+ay。兩邊用b去乘，有b=bpx+bay。因為等式右邊的兩項分別能被p整除，從而等式左邊的b也能被p整除。由此即證所述結論。