AI 時代 Math 元年 : 用 Python 全精通矩陣及線性代數

姜偉生

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商品描述

!有資料就有矩陣,有矩陣就有向量,有向量就有幾何,有幾何就有空間

!從資料一路提升到張量的所有數學基礎

!將數學視為思想、工具、語言、體系、基石、藝術的角度進行學習

!分為向量、矩陣、向量空間、矩陣分解、微積分、空間幾何、資料

!所有機器學習、深度學習最重要的基礎數學概念

!不再亂猜,寫機器學習程式碼時,每行指令背後代表的數學基礎

!學矩陣就是學AI,從此看到AI程式碼完全無負擔

AI熱潮來臨,每個人都很怕直接被機器取代,不管文科理科背景的人,每個人都想搭上AI快車飛速到達未來。然而你的第一關就是數學。數學是宇宙的共同語言,也是人類意志極緻的展現。數學從數字開始進入高維之後,向量、矩陣、張量將整個人類文明帶入新的境界,也將我們的世界從點線面體推向無法視覺化的高維空間,而針對空間的運算,更是所有科學的重要基礎。空間幾何這門完全和生活知識抽離的學科,看似是和向量打交道而已,但卻是整個世界運行的基礎,近年AI興起,機器學習及深度學習成為熱門行業,當你想要學習TensorFlow時,面對的第一個觀念就是張量(Tensor)。這些名詞讓你感到陌生又不是完全不認識時,就是重拾矩陣的時候了。本書利用最小的成本,幫你把這個又陌生又熟悉的老朋友重新交往。作者從最簡單的加法開始說明,一直到機器學習中的梯度、偏導數、積分、矩陣、線性代數,從小學到研究所所學的數學,一一在適當的章節出現,當你讀到某個章節時,會發現「啊!原來如此,這就是奇異值分解在機器學習的原理啊!」,有一種豁然開朗的感覺,相信這種驚喜在全書中會不斷出現。ChatGPT出來之後,AI已經光速啟動,有志加入這個行業,也只能快速跟上,而這本書,正是你進入的最佳助手,與其繼續逃避直到被淘汰,不如就花一點時間,把這本本來就不難的書看完,補上你個人AI志業的最重要一塊拼圖。

全書分為以下幾個部分:向量:從資料、矩陣、向量、幾何、空間開始談起,包括向量運算,範數等基本定理。接下來談到矩陣,把矩陣所有的性質(四則運算、表格、秩等)說明清楚,更有重要的內外積等。第三部分談的是向量,包括座標系、各種變換、維度、行列視,投影、正交、基等性質。第四部分談的是矩陣分解,實作了包括LUCholeskyQR,特徵/奇異值分解。第五部分就是談到空間的微積分,如多元函式、偏導、梯度、方向微分、泰勒展開等。也說明了拉格朗日乘子等。第六部分說明了空間幾何,包括直線、超平面、圓錐曲線等。也說明了曲面和正定性等問題。最後一部分則整理了前面所有觀念,發展至資料統計、SVD分解、機器學習、線性迴歸及PCA原理。搭配本書系其它書籍,相信AI的數學,對你來說只會是開心而不是阻礙。

作者簡介

姜偉生,博士FRM。勤奮的小鎮做題家,熱愛知識可視化和開源分享。自20228月開始,在GitHub上開源「鳶尾花書」學習資源,截至20239月,已經分享4000多頁PDF4000多幅矢量圖、約2000個代碼文件,全球讀者數以萬計。

目錄大綱

第 1章 不止向量

1.1 有資料的地方,必有矩陣

1.2 有矩陣的地方,更有向量

1.3 有向量的地方,就有幾何

1.4 有幾何的地方,皆有空間

1.5 有資料的地方,定有統計

第 2章 向量運算

2.1 向量:多面手

2.2 行向量、列向量

2.3 向量長度:模,歐氏距離,L2範數

2.4 加減法:對應位置元素分別相加減

2.5 純量乘法:向量縮放

2.6 向量內積:結果為純量

2.7 向量夾角:反餘弦

2.8 餘弦相似度和餘弦距離

2.9 向量積:結果為向量

2.10 逐項積:對應元素分別相乘

2.11 張量積:張起網格面

第 3章 向量範數

3.1 Lp範數:L2範數的推廣

3.2 Lp範數和超橢圓的聯繫

3.3 L1範數:旋轉正方形

3.4 L2範數:正圓

3.5 L∞範數:正方形

3.6 再談距離度量

第4章 矩陣

4.1 矩陣:一個不平凡的表格

4.2 矩陣形狀:每種形狀都有特殊用途

4.3 基本運算:加減和純量乘法

4.4 廣播原則

4.5 矩陣乘法:線性代數的運算核心

4.6 兩個角度解剖矩陣乘法

4.7 轉置:繞主對角線鏡像

4.8 矩陣逆:「相當於 」除法運算

4.9 跡:主對角元素之和

4.10 逐項積:對應元素相乘

4.11 行列式:將矩陣映射到純量值

第5章 矩陣乘法

5.1 矩陣乘法:形態豐富多樣

5.2 向量和向量

5.3 再聊全1列向量

5.4 矩陣乘向量:線性方程式組

5.5 向量乘矩陣乘向量:二次型

5.6 方陣次方陣:矩陣分解

5.7 對角陣:批次縮放

5.8 置換矩陣:調換元素順序

5.9 矩陣乘向量:映射到一維

5.10 矩陣乘矩陣:映射到多維

5.11 長方陣:奇異值分解、格拉姆矩陣、張量積

5.12 愛因斯坦求和約定

5.13 矩陣乘法的幾個雷區

第6章 分塊矩陣

6.1 分塊矩陣:橫平垂直切豆腐

6.2 矩陣乘法第一角度:純量積展開

6.3 矩陣乘法第二角度:外積展開

6.4 矩陣乘法更多角度:分塊多樣化

6.5 分塊矩陣的逆

6.6 克羅內克積:矩陣張量積

第 7章 向量空間

7.1 向量空間:從直角座標系說起

7.2 給向量空間塗顏色:RGB色卡

7.3 張成空間:線性組合紅、綠、藍三原色

7.4 線性無關:紅色和綠色,調不出青色

7.5 非正交基底:青色、品紅、黃色

7.6 基底轉換:從紅、綠、藍,到青色、品紅、黃色

第8章 幾何變換

8.1 線性變換:線性空間到自身的線性映射

8.2 平移:仿射變換,原點變動

8.3 縮放:對角陣

8.4 旋轉:行列式值為1

8.5 鏡像:行列式值為負

8.6 投影:降維操作

8.7 再談行列式值:幾何角度

第 9章 正交投影

9.1 純量投影:結果為純量

9.2 向量投影:結果為向量

9.3 正交矩陣:一個規範正交基底

9.4 規範正交基底性質

9.5 再談鏡像:從投影角度

9.6 格拉姆-施密特正交化

9.7 投影角度看回歸

第 10 章 資料投影

10.1 從一個矩陣乘法運算說起

10.2 二次投影 + 層層疊加

10.3 二特徵資料投影:標準正交基底

10.4 二特徵資料投影:規範正交基底

10.5 四特徵資料投影:標準正交基底

10.6 四特徵資料投影:規範正交基底

10.7 資料正交化

第 11章 矩陣分解

11.1 矩陣分解:類似因式分解

11.2 LU分解:上下三角

11.3 Cholesky分解:適用於正定矩陣

11.4 QR分解:正交化

11.5 特徵值分解:刻畫矩陣映射的特徵

11.6 奇異值分解:適用於任何實數矩陣

第 12章 Cholesky分解

12.1 Cholesky分解

12.2 正定矩陣才可以進行Cholesky分解

12.3 幾何角度:開合

12.4 幾何變換:縮放 → 開合

12.5 推廣到三維空間

12.6 從格拉姆矩陣到相似度矩陣

第 13章 特徵值分解

13.1 幾何角度看特徵值分解

13.2 旋轉 → 縮放 → 旋轉

13.3 再談行列式值和線性變換

13.4 對角化、譜分解

13.5 聊聊特徵值

13.6 特徵值分解中的複數現象

第 14章 深入特徵值分解

14.1 方陣開方

14.2 矩陣指數:冪級數的推廣

14.3 費氏數列:求通項式

14.4 馬可夫過程的平穩狀態

14.5 瑞利商

14.6 再談橢圓:特徵值分解

第 15章 奇異值分解

15.1 幾何角度:旋轉 → 縮放 → 旋轉

15.2 不同類型SVD分解

15.3 左奇異向量矩陣U

15.4 右奇異向量矩陣V

15.5 兩個角度:投影和資料疊加

第 16章 深入奇異值分解

16.1 完全型:U為方陣

16.2 經濟型:S去掉零矩陣,變方陣

16.3 緊湊型:非滿秩

16.4 截斷型:近似

16.5 資料還原:層層疊加

16.6 估計與誤差:截斷型SVD

16.7 正交投影:資料正交化

第 17章 多元函式微分

17.1 偏導:特定方向的變化率

17.2 梯度向量:上山方向

17.3 法向量:垂直於切平面

17.4 方向性微分:函式任意方向的變化率

17.5 泰勒展開:一元到多元

第 18章 拉格朗日乘子法

18.1 回顧最佳化問題

18.2 等式約束條件

18.3 線性等式約束

18.4 非線性等式約束

18.5 不等式約束

18.6 再談特徵值分解:最佳化角度

18.7 再談SVD:最佳化角度

18.8 矩陣範數:矩陣 → 純量,矩陣「大小 」

18.9 再談資料正交投影:最佳化角度

第 19章 直線到超平面

19.1 切向量:可以用來定義直線

19.2 法向量:定義直線、平面、超平面

19.3 超平面:一維直線和二維平面的推廣

19.4 平面與梯度向量

19.5 中垂線:用向量求解析式

19.6 用向量計算距離

第 20 章 再談圓錐曲線

20.1 無處不在的圓錐曲線

20.2 正圓:從單位圓到任意正圓

20.3 單位圓到旋轉橢圓:縮放 → 旋轉 → 平移

20.4 多元高斯分佈:矩陣分解、幾何變換、距離

20.5 從單位雙曲線到旋轉雙曲線

20.6 切線:建構函式,求梯度向量

20.7 法線:法向量垂直於切向量

第 21章 曲面和正定性

21.1 正定性

21.2 幾何角度看正定性

21.3 開口朝上抛物面:正定

21.4 山谷面:半正定

21.5 開口朝下抛物面:負定

21.6 山脊面:半負定

21.7 雙曲抛物面:不定

21.8 多極值曲面:局部正定性

第 22章 資料與統計

22.1 統計 + 線性代數:以鳶尾花資料為例

22.2 平均值:線性代數角度

22.3 質心:平均值排列成向量

22.4 中心化:平移

22.5 分類資料:加標籤

22.6 方差:平均值向量沒有解釋的部分

22.7 協方差和相關性係數

22.8 協方差矩陣和相關性係數矩陣

第 23章 資料空間

23.1 從資料矩陣X說起

23.2 向量空間:從SVD分解角度理解

23.3 緊湊型SVD分解:剔除零空間

23.4 幾何角度說空間

23.5 格拉姆矩陣:向量模、夾角餘弦值的集合體

23.6 標準差向量:以資料質心為起點

23.7 白話說空間:以鳶尾花資料為例

第 24章 資料分解

24.1 為什麼要分解矩陣?

24.2 QR分解:獲得正交系

24.3 Cholesky分解:找到列向量的座標

24.4 特徵值分解:獲得行空間和零空間

24.5 SVD分解:獲得四個空間

第 25章 資料應用

25.1 從線性代數到機器學習

25.2 從隨機變數的線性變換說起

25.3 單方向映射

25.4 線性回歸

25.5 多方向映射

25.6 主成分分析