AI 時代 Math 元年 - 用 Python 全精通矩陣及線性代數, 2/e

姜偉生 著

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商品描述

☆★暢銷再上市★☆

 

有資料就有矩陣,有矩陣就有向量,有向量就有幾何,有幾何就有空間

從資料一路提升到張量的所有數學基礎

將數學視為思想、工具、語言、體系、基石、藝術的角度進行學習

分為向量、矩陣、向量空間、矩陣分解、微積分、空間幾何、資料

所有機器學習、深度學習最重要的基礎數學概念

不再亂猜,寫機器學習程式碼時,每行指令背後代表的數學基礎

學矩陣就是學AI,從此看到AI程式碼完全無負擔

 

AI熱潮來臨,每個人都很怕直接被機器取代,不管文科理科背景的人,每個人都想搭上AI快車飛速到達未來。然而你的第一關就是數學。數學是宇宙的共同語言,也是人類意志極緻的展現。數學從數字開始進入高維之後,向量、矩陣、張量將整個人類文明帶入新的境界,也將我們的世界從點線面體推向無法視覺化的高維空間,而針對空間的運算,更是所有科學的重要基礎。空間幾何這門完全和生活知識抽離的學科,看似是和向量打交道而已,但卻是整個世界運行的基礎,近年AI興起,機器學習及深度學習成為熱門行業,當你想要學習TensorFlow時,面對的第一個觀念就是張量(Tensor)。這些名詞讓你感到陌生又不是完全不認識時,就是重拾矩陣的時候了。本書利用最小的成本,幫你把這個又陌生又熟悉的老朋友重新交往。作者從最簡單的加法開始說明,一直到機器學習中的梯度、偏導數、積分、矩陣、線性代數,從小學到研究所所學的數學,一一在適當的章節出現,當你讀到某個章節時,會發現「啊!原來如此,這就是奇異值分解在機器學習的原理啊!」,有一種豁然開朗的感覺,相信這種驚喜在全書中會不斷出現。ChatGPT出來之後,AI已經光速啟動,有志加入這個行業,也只能快速跟上,而這本書,正是你進入的最佳助手,與其繼續逃避直到被淘汰,不如就花一點時間,把這本本來就不難的書看完,補上你個人AI志業的最重要一塊拼圖。

 

全書分為以下幾個部分:向量:從資料、矩陣、向量、幾何、空間開始談起,包括向量運算,範數等基本定理。接下來談到矩陣,把矩陣所有的性質(四則運算、表格、秩等)說明清楚,更有重要的內外積等。第三部分談的是向量,包括座標系、各種變換、維度、行列視,投影、正交、基等性質。第四部分談的是矩陣分解,實作了包括LUCholeskyQR,特徵/奇異值分解。第五部分就是談到空間的微積分,如多元函式、偏導、梯度、方向微分、泰勒展開等。也說明了拉格朗日乘子等。第六部分說明了空間幾何,包括直線、超平面、圓錐曲線等。也說明了曲面和正定性等問題。最後一部分則整理了前面所有觀念,發展至資料統計、SVD分解、機器學習、線性迴歸及PCA原理。搭配本書系其它書籍,相信AI的數學,對你來說只會是開心而不是阻礙。

作者簡介

姜偉生

博士FRM。勤奮的小鎮做題家,熱愛知識可視化和開源分享。自20228月開始,在GitHub上開源「鳶尾花書」學習資源,截至20239月,已經分享4000多頁PDF4000多幅矢量圖、約2000個代碼文件,全球讀者數以萬計。

目錄大綱

1 不止向量

1.1有資料的地方,必有矩陣

1.2有矩陣的地方,更有向量

1.3有向量的地方,就有幾何

1.4有幾何的地方,皆有空間

1.5有資料的地方,定有統計

 

2 向量運算

2.1向量:多面手

2.2行向量、列向量

2.3向量長度:模,歐氏距離,L2範數

2.4加減法:對應位置元素分別相加減

2.5純量乘法:向量縮放

2.6向量內積:結果為純量

2.7向量夾角:反餘弦

2.8餘弦相似度和餘弦距離

2.9向量積:結果為向量

2.10逐項積:對應元素分別相乘

2.11張量積:張起網格面

 

3 向量範數

3.1Lp範數:L2範數的推廣

3.2Lp範數和超橢圓的聯繫

3.3L1範數:旋轉正方形

3.4L2範數:正圓

3.5L∞範數:正方形

3.6再談距離度量

 

4 矩陣

4.1矩陣:一個不平凡的表格

4.2矩陣形狀:每種形狀都有特殊用途

4.3基本運算:加減和純量乘法

4.4廣播原則

4.5矩陣乘法:線性代數的運算核心

4.6兩個角度解剖矩陣乘法

4.7轉置:繞主對角線鏡像

4.8矩陣逆:「相當於 」除法運算

4.9跡:主對角元素之和

4.10逐項積:對應元素相乘

4.11行列式:將矩陣映射到純量值

 

5 矩陣乘法

5.1矩陣乘法:形態豐富多樣

5.2向量和向量

5.3再聊全1列向量

5.4矩陣乘向量:線性方程式組

5.5向量乘矩陣乘向量:二次型

5.6方陣次方陣:矩陣分解

5.7對角陣:批次縮放

5.8置換矩陣:調換元素順序

5.9矩陣乘向量:映射到一維

5.10矩陣乘矩陣:映射到多維

5.11長方陣:奇異值分解、格拉姆矩陣、張量積

5.12愛因斯坦求和約定

5.13矩陣乘法的幾個雷區

 

6 分塊矩陣

6.1分塊矩陣:橫平垂直切豆腐

6.2矩陣乘法第一角度:純量積展開

6.3矩陣乘法第二角度:外積展開

6.4矩陣乘法更多角度:分塊多樣化

6.5分塊矩陣的逆

6.6克羅內克積:矩陣張量積

 

7 向量空間

7.1向量空間:從直角座標系說起

7.2給向量空間塗顏色:RGB色卡

7.3張成空間:線性組合紅、綠、藍三原色

7.4線性無關:紅色和綠色,調不出青色

7.5非正交基底:青色、品紅、黃色

7.6基底轉換:從紅、綠、藍,到青色、品紅、黃色

 

8 幾何變換

8.1線性變換:線性空間到自身的線性映射

8.2平移:仿射變換,原點變動

8.3縮放:對角陣

8.4旋轉:行列式值為1

8.5鏡像:行列式值為負

8.6投影:降維操作

8.7再談行列式值:幾何角度

 

9 正交投影

9.1純量投影:結果為純量

9.2向量投影:結果為向量

9.3正交矩陣:一個規範正交基底

9.4規範正交基底性質

9.5再談鏡像:從投影角度

9.6格拉姆-施密特正交化

9.7投影角度看回歸

 

10 資料投影

10.1從一個矩陣乘法運算說起

10.2二次投影 + 層層疊加

10.3二特徵資料投影:標準正交基底

10.4二特徵資料投影:規範正交基底

10.5四特徵資料投影:標準正交基底

10.6四特徵資料投影:規範正交基底

10.7資料正交化

 

11 矩陣分解

11.1矩陣分解:類似因式分解

11.2LU分解:上下三角

11.3Cholesky分解:適用於正定矩陣

11.4QR分解:正交化

11.5特徵值分解:刻畫矩陣映射的特徵

11.6奇異值分解:適用於任何實數矩陣

 

12 Cholesky分解

12.1Cholesky分解

12.2正定矩陣才可以進行Cholesky分解

12.3幾何角度:開合

12.4幾何變換:縮放 開合

12.5推廣到三維空間

12.6從格拉姆矩陣到相似度矩陣

 

13 特徵值分解

13.1幾何角度看特徵值分解

13.2旋轉 縮放 旋轉

13.3再談行列式值和線性變換

13.4對角化、譜分解

13.5聊聊特徵值

13.6特徵值分解中的複數現象

 

14 深入特徵值分解

14.1方陣開方

14.2矩陣指數:冪級數的推廣

14.3費氏數列:求通項式

14.4馬可夫過程的平穩狀態

14.5瑞利商

14.6再談橢圓:特徵值分解

 

15 奇異值分解

15.1幾何角度:旋轉 縮放 旋轉

15.2不同類型SVD分解

15.3左奇異向量矩陣U

15.4右奇異向量矩陣V

15.5兩個角度:投影和資料疊加

 

16 深入奇異值分解

16.1完全型:U為方陣

16.2經濟型:S去掉零矩陣,變方陣

16.3緊湊型:非滿秩

16.4截斷型:近似

16.5資料還原:層層疊加

16.6估計與誤差:截斷型SVD

16.7正交投影:資料正交化

 

17 多元函式微分

17.1偏導:特定方向的變化率

17.2梯度向量:上山方向

17.3法向量:垂直於切平面

17.4方向性微分:函式任意方向的變化率

17.5泰勒展開:一元到多元

 

18 拉格朗日乘子法

18.1回顧最佳化問題

18.2等式約束條件

18.3線性等式約束

18.4非線性等式約束

18.5不等式約束

18.6再談特徵值分解:最佳化角度

18.7再談SVD:最佳化角度

18.8矩陣範數:矩陣 純量,矩陣「大小

18.9再談資料正交投影:最佳化角度

 

19 直線到超平面

19.1切向量:可以用來定義直線

19.2法向量:定義直線、平面、超平面

19.3超平面:一維直線和二維平面的推廣

19.4平面與梯度向量

19.5中垂線:用向量求解析式

19.6用向量計算距離

 

20 再談圓錐曲線

20.1無處不在的圓錐曲線

20.2正圓:從單位圓到任意正圓

20.3單位圓到旋轉橢圓:縮放 旋轉 平移

20.4多元高斯分佈:矩陣分解、幾何變換、距離

20.5從單位雙曲線到旋轉雙曲線

20.6切線:建構函式,求梯度向量

20.7法線:法向量垂直於切向量

 

21 曲面和正定性

21.1正定性

21.2幾何角度看正定性

21.3開口朝上抛物面:正定

21.4山谷面:半正定

21.5開口朝下抛物面:負定

21.6山脊面:半負定

21.7雙曲抛物面:不定

21.8多極值曲面:局部正定性

 

22 資料與統計

22.1統計 + 線性代數:以鳶尾花資料為例

22.2平均值:線性代數角度

22.3質心:平均值排列成向量

22.4中心化:平移

22.5分類資料:加標籤

22.6方差:平均值向量沒有解釋的部分

22.7協方差和相關性係數

22.8協方差矩陣和相關性係數矩陣

 

23 資料空間

23.1從資料矩陣X說起

23.2向量空間:從SVD分解角度理解

23.3緊湊型SVD分解:剔除零空間

23.4幾何角度說空間

23.5格拉姆矩陣:向量模、夾角餘弦值的集合體

23.6標準差向量:以資料質心為起點

23.7白話說空間:以鳶尾花資料為例

 

24 資料分解

24.1為什麼要分解矩陣?

24.2QR分解:獲得正交系

24.3Cholesky分解:找到列向量的座標

24.4特徵值分解:獲得行空間和零空間

24.5SVD分解:獲得四個空間

 

25 資料應用

25.1從線性代數到機器學習

25.2從隨機變數的線性變換說起

25.3單方向映射

25.4線性回歸

25.5多方向映射

25.6主成分分析