AI 時代 Math 元年 - 用 Python 全精通矩陣及線性代數, 2/e
姜偉生 著
- 出版商: 深智 曬書季|單本79 兩書75( 部分除外)
- 出版日期: 2025-07-19
- 定價: $1,280
- 售價: 7.9 折 $1,011
- 語言: 繁體中文
- 頁數: 832
- ISBN: 6267757080
- ISBN-13: 9786267757086
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相關分類:
Python、程式語言、人工智慧、線性代數 Linear-algebra
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商品描述
☆★暢銷再上市★☆
►有資料就有矩陣,有矩陣就有向量,有向量就有幾何,有幾何就有空間
►從資料一路提升到張量的所有數學基礎
►將數學視為思想、工具、語言、體系、基石、藝術的角度進行學習
►分為向量、矩陣、向量空間、矩陣分解、微積分、空間幾何、資料
►所有機器學習、深度學習最重要的基礎數學概念
►不再亂猜,寫機器學習程式碼時,每行指令背後代表的數學基礎
►學矩陣就是學AI,從此看到AI程式碼完全無負擔
AI熱潮來臨,每個人都很怕直接被機器取代,不管文科理科背景的人,每個人都想搭上AI快車飛速到達未來。然而你的第一關就是數學。數學是宇宙的共同語言,也是人類意志極緻的展現。數學從數字開始進入高維之後,向量、矩陣、張量將整個人類文明帶入新的境界,也將我們的世界從點線面體推向無法視覺化的高維空間,而針對空間的運算,更是所有科學的重要基礎。空間幾何這門完全和生活知識抽離的學科,看似是和向量打交道而已,但卻是整個世界運行的基礎,近年AI興起,機器學習及深度學習成為熱門行業,當你想要學習TensorFlow時,面對的第一個觀念就是張量(Tensor)。這些名詞讓你感到陌生又不是完全不認識時,就是重拾矩陣的時候了。本書利用最小的成本,幫你把這個又陌生又熟悉的老朋友重新交往。作者從最簡單的加法開始說明,一直到機器學習中的梯度、偏導數、積分、矩陣、線性代數,從小學到研究所所學的數學,一一在適當的章節出現,當你讀到某個章節時,會發現「啊!原來如此,這就是奇異值分解在機器學習的原理啊!」,有一種豁然開朗的感覺,相信這種驚喜在全書中會不斷出現。ChatGPT出來之後,AI已經光速啟動,有志加入這個行業,也只能快速跟上,而這本書,正是你進入的最佳助手,與其繼續逃避直到被淘汰,不如就花一點時間,把這本本來就不難的書看完,補上你個人AI志業的最重要一塊拼圖。
全書分為以下幾個部分:向量:從資料、矩陣、向量、幾何、空間開始談起,包括向量運算,範數等基本定理。接下來談到矩陣,把矩陣所有的性質(四則運算、表格、秩等)說明清楚,更有重要的內外積等。第三部分談的是向量,包括座標系、各種變換、維度、行列視,投影、正交、基等性質。第四部分談的是矩陣分解,實作了包括LU、Cholesky、QR,特徵/奇異值分解。第五部分就是談到空間的微積分,如多元函式、偏導、梯度、方向微分、泰勒展開等。也說明了拉格朗日乘子等。第六部分說明了空間幾何,包括直線、超平面、圓錐曲線等。也說明了曲面和正定性等問題。最後一部分則整理了前面所有觀念,發展至資料統計、SVD分解、機器學習、線性迴歸及PCA原理。搭配本書系其它書籍,相信AI的數學,對你來說只會是開心而不是阻礙。
作者簡介
姜偉生
博士FRM。勤奮的小鎮做題家,熱愛知識可視化和開源分享。自2022年8月開始,在GitHub上開源「鳶尾花書」學習資源,截至2023年9月,已經分享4000多頁PDF、4000多幅矢量圖、約2000個代碼文件,全球讀者數以萬計。
目錄大綱
第1章 不止向量
1.1有資料的地方,必有矩陣
1.2有矩陣的地方,更有向量
1.3有向量的地方,就有幾何
1.4有幾何的地方,皆有空間
1.5有資料的地方,定有統計
第2章 向量運算
2.1向量:多面手
2.2行向量、列向量
2.3向量長度:模,歐氏距離,L2範數
2.4加減法:對應位置元素分別相加減
2.5純量乘法:向量縮放
2.6向量內積:結果為純量
2.7向量夾角:反餘弦
2.8餘弦相似度和餘弦距離
2.9向量積:結果為向量
2.10逐項積:對應元素分別相乘
2.11張量積:張起網格面
第3章 向量範數
3.1Lp範數:L2範數的推廣
3.2Lp範數和超橢圓的聯繫
3.3L1範數:旋轉正方形
3.4L2範數:正圓
3.5L∞範數:正方形
3.6再談距離度量
第4章 矩陣
4.1矩陣:一個不平凡的表格
4.2矩陣形狀:每種形狀都有特殊用途
4.3基本運算:加減和純量乘法
4.4廣播原則
4.5矩陣乘法:線性代數的運算核心
4.6兩個角度解剖矩陣乘法
4.7轉置:繞主對角線鏡像
4.8矩陣逆:「相當於 」除法運算
4.9跡:主對角元素之和
4.10逐項積:對應元素相乘
4.11行列式:將矩陣映射到純量值
第5章 矩陣乘法
5.1矩陣乘法:形態豐富多樣
5.2向量和向量
5.3再聊全1列向量
5.4矩陣乘向量:線性方程式組
5.5向量乘矩陣乘向量:二次型
5.6方陣次方陣:矩陣分解
5.7對角陣:批次縮放
5.8置換矩陣:調換元素順序
5.9矩陣乘向量:映射到一維
5.10矩陣乘矩陣:映射到多維
5.11長方陣:奇異值分解、格拉姆矩陣、張量積
5.12愛因斯坦求和約定
5.13矩陣乘法的幾個雷區
第6章 分塊矩陣
6.1分塊矩陣:橫平垂直切豆腐
6.2矩陣乘法第一角度:純量積展開
6.3矩陣乘法第二角度:外積展開
6.4矩陣乘法更多角度:分塊多樣化
6.5分塊矩陣的逆
6.6克羅內克積:矩陣張量積
第7章 向量空間
7.1向量空間:從直角座標系說起
7.2給向量空間塗顏色:RGB色卡
7.3張成空間:線性組合紅、綠、藍三原色
7.4線性無關:紅色和綠色,調不出青色
7.5非正交基底:青色、品紅、黃色
7.6基底轉換:從紅、綠、藍,到青色、品紅、黃色
第8章 幾何變換
8.1線性變換:線性空間到自身的線性映射
8.2平移:仿射變換,原點變動
8.3縮放:對角陣
8.4旋轉:行列式值為1
8.5鏡像:行列式值為負
8.6投影:降維操作
8.7再談行列式值:幾何角度
第9章 正交投影
9.1純量投影:結果為純量
9.2向量投影:結果為向量
9.3正交矩陣:一個規範正交基底
9.4規範正交基底性質
9.5再談鏡像:從投影角度
9.6格拉姆-施密特正交化
9.7投影角度看回歸
第10章 資料投影
10.1從一個矩陣乘法運算說起
10.2二次投影 + 層層疊加
10.3二特徵資料投影:標準正交基底
10.4二特徵資料投影:規範正交基底
10.5四特徵資料投影:標準正交基底
10.6四特徵資料投影:規範正交基底
10.7資料正交化
第11章 矩陣分解
11.1矩陣分解:類似因式分解
11.2LU分解:上下三角
11.3Cholesky分解:適用於正定矩陣
11.4QR分解:正交化
11.5特徵值分解:刻畫矩陣映射的特徵
11.6奇異值分解:適用於任何實數矩陣
第12章 Cholesky分解
12.1Cholesky分解
12.2正定矩陣才可以進行Cholesky分解
12.3幾何角度:開合
12.4幾何變換:縮放 → 開合
12.5推廣到三維空間
12.6從格拉姆矩陣到相似度矩陣
第13章 特徵值分解
13.1幾何角度看特徵值分解
13.2旋轉 → 縮放 → 旋轉
13.3再談行列式值和線性變換
13.4對角化、譜分解
13.5聊聊特徵值
13.6特徵值分解中的複數現象
第14章 深入特徵值分解
14.1方陣開方
14.2矩陣指數:冪級數的推廣
14.3費氏數列:求通項式
14.4馬可夫過程的平穩狀態
14.5瑞利商
14.6再談橢圓:特徵值分解
第15章 奇異值分解
15.1幾何角度:旋轉 → 縮放 → 旋轉
15.2不同類型SVD分解
15.3左奇異向量矩陣U
15.4右奇異向量矩陣V
15.5兩個角度:投影和資料疊加
第16章 深入奇異值分解
16.1完全型:U為方陣
16.2經濟型:S去掉零矩陣,變方陣
16.3緊湊型:非滿秩
16.4截斷型:近似
16.5資料還原:層層疊加
16.6估計與誤差:截斷型SVD
16.7正交投影:資料正交化
第17章 多元函式微分
17.1偏導:特定方向的變化率
17.2梯度向量:上山方向
17.3法向量:垂直於切平面
17.4方向性微分:函式任意方向的變化率
17.5泰勒展開:一元到多元
第18章 拉格朗日乘子法
18.1回顧最佳化問題
18.2等式約束條件
18.3線性等式約束
18.4非線性等式約束
18.5不等式約束
18.6再談特徵值分解:最佳化角度
18.7再談SVD:最佳化角度
18.8矩陣範數:矩陣 → 純量,矩陣「大小 」
18.9再談資料正交投影:最佳化角度
第19章 直線到超平面
19.1切向量:可以用來定義直線
19.2法向量:定義直線、平面、超平面
19.3超平面:一維直線和二維平面的推廣
19.4平面與梯度向量
19.5中垂線:用向量求解析式
19.6用向量計算距離
第20章 再談圓錐曲線
20.1無處不在的圓錐曲線
20.2正圓:從單位圓到任意正圓
20.3單位圓到旋轉橢圓:縮放 → 旋轉 → 平移
20.4多元高斯分佈:矩陣分解、幾何變換、距離
20.5從單位雙曲線到旋轉雙曲線
20.6切線:建構函式,求梯度向量
20.7法線:法向量垂直於切向量
第21章 曲面和正定性
21.1正定性
21.2幾何角度看正定性
21.3開口朝上抛物面:正定
21.4山谷面:半正定
21.5開口朝下抛物面:負定
21.6山脊面:半負定
21.7雙曲抛物面:不定
21.8多極值曲面:局部正定性
第22章 資料與統計
22.1統計 + 線性代數:以鳶尾花資料為例
22.2平均值:線性代數角度
22.3質心:平均值排列成向量
22.4中心化:平移
22.5分類資料:加標籤
22.6方差:平均值向量沒有解釋的部分
22.7協方差和相關性係數
22.8協方差矩陣和相關性係數矩陣
第23章 資料空間
23.1從資料矩陣X說起
23.2向量空間:從SVD分解角度理解
23.3緊湊型SVD分解:剔除零空間
23.4幾何角度說空間
23.5格拉姆矩陣:向量模、夾角餘弦值的集合體
23.6標準差向量:以資料質心為起點
23.7白話說空間:以鳶尾花資料為例
第24章 資料分解
24.1為什麼要分解矩陣?
24.2QR分解:獲得正交系
24.3Cholesky分解:找到列向量的座標
24.4特徵值分解:獲得行空間和零空間
24.5SVD分解:獲得四個空間
第25章 資料應用
25.1從線性代數到機器學習
25.2從隨機變數的線性變換說起
25.3單方向映射
25.4線性回歸
25.5多方向映射
25.6主成分分析