圖解計算機科學數學基礎

約翰·文斯（John Vince）  計算機圖形學領域 專家，自1968年起深耕該領域，研發了PICASO、PRISM動畫系統，設計了英國 計算機圖形學理學碩士課程，還為電視設計師開設了熱門計算機動畫短期課程。他曾任職雷迪福森模擬公司研究顧問、湯姆森訓練模擬有限公司首席科學家，參與商用飛行模擬器系統研發；後任伯恩茅斯大學 計算機動畫中心數字媒體教授、學術組組長。累計撰寫、主編50余本計算機圖形學、動畫與虛擬現實著作，學術與實踐功底深厚。

譯者序

前言

第1章　可視化數學 ………………………1

1.1　引言 ………………………………………1

1.2　視覺型大腦對比分析型大腦 ………1

1.3　數學的學習 ……………………………2

1.4　是什麼令數學變得困難 ………………2

1.5　數學存在於我們的大腦之外嗎 ……2

1.6　符號和表示法 …………………………3

第2章　數 ……………………………………5

2.1　引言 ………………………………………5

2.2　計數 ………………………………………5

2.3　數的集合 ………………………………6

2.4　零 …………………………………………7

2.5　負數 ………………………………………7

2.6　觀察和公理 …………………………9

2.6.1　交換律………………………9

2.6.2　結合律………………………9

2.6.3　分配律………………………9

2.7　數的類型 ……………………………10

2.7.1　自然數………………………10

2.7.2　整數…………………………10

2.7.3　有理數………………………10

2.7.4　無理數………………………11

2.7.5　實數…………………………11

2.7.6　代數數和越數………………11

2.7.7　虛數…………………………12

2.7.8　覆數…………………………13

2.7.9　四元數和八元數………………14

2.8　素數 ……………………………………14

2.8.1　算術基本定理…………………15

2.8.2　數1是素數嗎…………………16

2.8.3　哥德巴赫猜想…………………16

2.8.4　素數的分布……………………17

2.8.5　素數的無窮性…………………18

2.8.6　梅森數………………………18

2.9　完滿數 ………………………………18

2.10　三角形數……………………………19

2.11　無窮…………………………………19

2.12　例題 …………………………………20

2.12.1　代數展開……………………20

2.12.2　覆數…………………………20

2.12.3　四元數………………………20

參考文獻…………………………………21

第3章　計數系統 …………………………22

3.1　引言 ……………………………………22

3.2　十進位系統 …………………………22

3.2.1　背景…………………………22

3.2.2　二進制數……………………23

3.2.3　八進制數……………………23

3.2.4　十六進制數……………………24

3.3　將十進制轉換為二進制、八進制和十六進制 ……………………………24

3.3.1　將十進制轉換為二進制………24

3.3.2　將十進制轉換為八進制………26

3.3.3　將十進制轉換為十六進制……26

3.4　二進制數和八進制數之間的轉換 …27

3.5　二進制數和十六進制數之間的

轉換……………………………………29

3.6　二進制數的加法和減法 ……………30

3.6.1　二進制數加法…………………30

3.6.2　利用二進制補碼的二進制數

減法…………………………31

3.7　十進制數的加法和減法 ……………31

3.7.1　十進制數加法…………………31

3.7.2　利用十進制補碼的十進制數

減法…………………………32

3.8　八進制數的加法和減法 ……………32

3.8.1　八進制數加法…………………32

3.8.2　利用八進制補碼的八進制數

減法…………………………33

3.9　總結 ……………………………………33

3.10　例題…………………………………33

3.10.1　 將十進制數轉換為二進制數 …33

3.10.2　 利用算法將十進制數轉換為

二進制數 …………………34

3.10.3　 將二進制數轉換為十進制數 …34

3.10.4　 將二進制數轉換為八進制數 …34

3.10.5　 將八進制數轉換為二進制數 …34

3.10.6　 將八進制數轉換為十六進

制數 ………………………35

3.10.7　 將十六進制數轉換為八進

制數 ………………………35

3.10.8　 將十進制數轉換為八進制數 …35

3.10.9　 利用算法將十進制數轉換為八進制數 ……………………35

3.10.10　 將十進制數轉換為十六進

制數 ………………………36

3.10.11　二進制數加法………………36

3.10.12　二進制數減法………………36

3.10.13　八進制數加法………………37

3.10.14　八進制數減法………………37

3.10.15　十六進制數加法……………37

第4章　代數 ………………………………38

4.1　引言 ……………………………………38

4.2　背景 ……………………………………38

4.3　表示法 ………………………………39

4.4　指數 ……………………………………43

4.5　對數 ……………………………………44

4.6　更多的表示法 ………………………45

4.7　函數 ……………………………………45

4.7.1　顯式方程和隱式方程…………46

4.7.2　函數表示法……………………46

4.7.3　區間…………………………47

4.7.4　函數的定義域和值域…………47

4.7.5　奇函數和偶函數………………48

4.7.6　冪函數………………………49

4.8　級數 ……………………………………49

4.9　二項式定理 …………………………50

4.10　總結 …………………………………51

4.11　例題 …………………………………51

4.11.1　代數運算……………………51

4.11.2　求解二次方程………………52

4.11.3　因式分解……………………54

4.11.4　二項式定理…………………54

參考文獻…………………………………54

第5章　邏輯 ………………………………55

5.1　引言 ……………………………………55

5.2　背景 ……………………………………55

5.3　真值表………………………………56

5.4　邏輯前提……………………………57

5.4.1　實質等性……………………57

5.4.2　蘊涵…………………………57

5.4.3　否定…………………………57

5.4.4　合取…………………………58

5.4.5　可兼析取……………………58

5.4.6　互斥析取……………………58

5.4.7　冪等性………………………58

5.4.8　可交換性……………………59

5.4.9　結合性………………………59

5.4.10　分配性………………………60

5.4.11　德·摩根律…………………61

5.4.12　簡化…………………………61

5.4.13　排中…………………………61

5.4.14　矛盾…………………………61

5.4.15　雙重否定……………………62

5.4.16　蘊涵與等…………………62

5.4.17　輸出規則……………………62

5.4.18　假言易位……………………63

5.4.19　歸謬…………………………63

5.4.20　假言推理……………………64

5.4.21　例證…………………………64

5.5　集合論 ………………………………65

5.5.1　空集…………………………66

5.5.2　成員關系和集合的基數………66

5.5.3　子集、集和全集……………66

5.5.4　集合的構建……………………67

5.5.5　並集…………………………67

5.5.6　交集…………………………68

5.5.7　相對補集……………………68

5.5.8　對補集……………………69

5.5.9　冪集…………………………69

5.6　例題 ……………………………………69

5.6.1　真值表………………………69

5.6.2　集合的構建……………………70

5.6.3　集合的交、並和補……………70

5.6.4　冪集…………………………70

第6章　組合數學 …………………………71

6.1　引言 ……………………………………71

6.2　排列 ……………………………………71

6.3　多重集的排列 ………………………73

6.4　組合 ……………………………………75

6.5　例題 ……………………………………76

6.5.1　多重集的8排列………………76

6.5.2　排列的數量……………………78

6.5.3　五張牌的組合數………………78

6.5.4　與100個人握手………………78

6.5.5　MISSISSIPPI的排列…………78

第7章　概率 ………………………………79

7.1　引言 ……………………………………79

7.2　定義和表示法 ………………………79

7.2.1　獨立事件……………………81

7.2.2　相依事件……………………81

7.2.3　互斥事件……………………82

7.2.4　含事件……………………83

7.2.5　組合概率……………………83

7.3　例題…………………………………86

7.3.1　概率的乘積……………………86

7.3.2　書的排列……………………86

7.3.3　贏得一次樂透彩票……………86

7.3.4　擲兩次骰子……………………86

7.3.5　擲兩次骰子的點數總和為7……86

7.3.6　擲兩次骰子的點數總和為4……87

7.3.7　發出一張紅A…………………87

7.3.8　連續選中四張A………………87

7.3.9　撲克牌的選擇…………………87

7.3.10　從一個袋子中選擇四個球……87

7.3.11　組建團隊……………………88

7.3.12　發出五張牌 …………………89

第8章　模算術 ……………………………90

8.1　引言 ……………………………………90

8.2　非形式化定義 ………………………90

8.3　表示法………………………………91

8.4　同余 ……………………………………91

8.5　負數 ……………………………………91

8.6　算術運算 ……………………………92

8.6.1　數的求和……………………92

8.6.2　乘積…………………………93

8.6.3　乘以一個常數…………………93

8.6.4　同余對………………………94

8.6.5　乘法逆元……………………94

8.6.6　以一個素數為模數……………95

8.6.7　費馬小定理……………………97

8.7　模算術的應用 ………………………98

8.7.1　ISBN奇偶校驗………………98

8.7.2　IBAN校驗位…………………99

8.8　例題 ……………………………………100

8.8.1　負數………………………100

8.8.2　數的求和…………………100

8.8.3　乘積的余數…………………101

8.8.4　乘法逆元…………………101

8.8.5　模數13的乘積表…………101

8.8.6　ISBN校驗位………………102

參考文獻 ……………………………………102

第9章　三角學 ……………………………103

9.1　引言 ……………………………………103

9.2　背景 ……………………………………103

9.3　角度測量的單位 ……………………103

9.4　三角比 ………………………………104

9.5　反三角比 ……………………………106

9.6　三角恒等式 …………………………106

9.7　正弦法則 ……………………………107

9.8　余弦法則……………………………107

9.9　覆合角度的恒等式 …………………108

9.9.1　二倍角恒等式………………109

9.9.2　多倍角恒等式………………110

9.9.3　半角恒等式…………………110

9.10　角度與周長的關系 ………………111

9.11　例題 …………………………………111

9.11.1　角度到弧度的轉換………111

9.11.2　正弦法則…………………111

9.11.3　余弦法則…………………112

9.11.4　覆合角度…………………112

9.11.5　二倍角恒等式……………112

9.11.6　角度與周長的關系………113

第10章　坐標系 …………………………114

10.1　引言 …………………………………114

10.2　背景 …………………………………114

10.3　笛卡兒平面…………………………115

10.4　函數圖像 ……………………………115

10.5　形狀的表示 …………………………115

10.5.1　二維多邊形………………116

10.5.2　形狀的面積………………116

10.6　二維畢達哥拉斯定理 ……………117

10.7　三維笛卡兒坐標 …………………117

10.8　坐標 ………………………………118

10.9　球坐標 ……………………………119

10.10　柱面坐標 …………………………119

10.11　重心坐標…………………………120

10.12　齊次坐標 …………………………120

10.13　例題 ………………………………121

10.13.1　形狀的面積………………121

10.13.2　兩點之間的距離…………121

10.13.3　坐標…………………121

10.13.4　球坐標………………122

10.13.5　柱面坐標………………122

10.13.6　重心坐標………………123

參考文獻 ……………………………………123

第11章　行列式 …………………………124

11.1　引言 …………………………………124

11.2　背景…………………………………124

11.3　二元線性方程 ………………………125

11.4　三元線性方程 ………………………128

11.5　數學表示法 …………………………134

11.5.1　矩陣………………………134

11.5.2　行列式的………………134

11.5.3　行列式的值………………134

11.5.4　行列式的性質……………136

11.6　例題 …………………………………136

11.6.1　行列式展開………………136

11.6.2　覆數行列式………………137

11.6.3　簡單展開式………………137

11.6.4　聯立方程組………………137

第12章　向量 ……………………………139

12.1　引言 …………………………………139

12.2　背景 …………………………………139

12.3　二維向量 ……………………………140

12.3.1　向量表示法………………140

12.3.2　向量的圖解………………141

12.3.3　向量的大小………………141

12.4　三維向量……………………………142

12.4.1　向量的處理………………142

12.4.2　向量的縮放………………143

12.4.3　向量的加法和減法………143

12.4.4　位置向量…………………144

12.4.5　單位向量…………………144

12.4.6　笛卡兒向量………………145

12.4.7　乘積………………………145

12.4.8　標量積……………………145

12.4.9　光照計算中的點積………146

12.4.10　後向面檢測中的標量積……147

12.4.11　向量積…………………148

12.4.12　右手法則………………151

12.5　推導三角形的單位法向量…………152

12.6　表面積 ………………………………152

12.7　總結 …………………………………153

12.8　例題 …………………………………153

12.8.1　位置向量…………………153

12.8.2　單位向量…………………153

12.8.3　向量的大小………………154

12.8.4　兩個向量之間的夾角……154

12.8.5　向量積……………………154

參考文獻 ……………………………………155

第13章　覆數 ……………………………156

13.1　引言 …………………………………156

13.2　覆數的表示 …………………………156

13.2.1　覆數集合…………………156

13.2.2　實和虛………………156

13.2.3　覆平面……………………157

13.3　覆代數 ………………………………157

13.3.1　代數定律…………………157

13.3.2　覆共軛……………………158

13.3.3　覆數除法…………………159

13.3.4　i的冪……………………160

13.3.5　i的旋轉性………………160

13.3.6　模和輻角…………………161

13.3.7　覆數的範數………………163

13.3.8　覆數的逆元………………164

13.3.9　覆指數……………………165

13.3.10　棣莫弗定理………………168

13.3.11　單位元的n次方根………170

13.3.12　覆數的n次方根…………171

13.3.13　覆數的對數………………172

13.3.14　覆數的冪………………173

13.3.15　簡單覆函數的可視化……174

13.3.16　雙曲函數………………176

13.4　總結 …………………………………177

13.5　例題 …………………………………177

13.5.1　覆數的加法………………177

13.5.2　覆數的乘法………………177

13.5.3　覆數的除法………………178

13.5.4　覆數的旋轉………………178

13.5.5　坐標表示法……………178

13.5.6　實和虛………………179

13.5.7　覆數的大小………………179

13.5.8　覆數的範數………………180

13.5.9　覆數的逆元………………180

13.5.10　棣莫弗定理………………180

13.5.11　單位元的n次方根………182

13.5.12　覆數的根………………182

13.5.13　覆數的對數………………183

13.5.14　覆數的冪………………183

參考文獻 ……………………………………184

第14章　矩陣 ……………………………185

14.1　引言 …………………………………185

14.2　幾何變換 ……………………………185

14.3　變換和矩陣 …………………………186

14.4　矩陣表示法 …………………………189

14.4.1　矩陣的維數或者………189

14.4.2　方陣………………………189

14.4.3　列向量……………………189

14.4.4　行向量……………………190

14.4.5　零矩陣……………………190

14.4.6　單位矩陣…………………190

14.4.7　跡…………………………190

14.4.8　矩陣的行列式……………191

14.4.9　轉置………………………192

14.4.10　對稱矩陣………………193

14.4.11　反對稱矩陣………………194

14.5　矩陣的加法和減法 ………………196

14.6　矩陣的乘積…………………………197

14.6.1　行向量和列向量…………197

14.6.2　行向量和矩陣……………198

14.6.3　矩陣和列向量……………198

14.6.4　方陣………………………199

14.6.5　矩形矩陣…………………200

14.7　逆矩陣 ………………………………200

14.8　正交矩陣 ……………………………207

14.9　對角矩陣 ……………………………208

14.10　例題 ………………………………208

14.10.1　矩陣的逆………………208

14.10.2　單位矩陣………………209

14.10.3　利用矩陣求解兩個方程……209

14.10.4　利用矩陣求解三個方程……210

14.10.5　 利用矩陣求解覆數方

程組 ……………………211

第15章　幾何矩陣變換 …………………216

15.1　引言 …………………………………216

15.2　矩陣變換 ……………………………216

15.2.1　二維平移…………………216

15.2.2　二維縮放…………………217

15.2.3　二維反射…………………218

15.2.4　二維剪切…………………220

15.2.5　二維旋轉…………………220

15.2.6　矩陣形式的二維縮放……222

15.2.7　矩陣形式的二維反射……222

15.2.8　圍繞任意點的二維旋轉……223

15.3　三維變換 ……………………………224

15.3.1　三維平移…………………224

15.3.2　三維縮放…………………224

15.3.3　三維旋轉…………………225

15.3.4　圍繞一個軸旋轉…………227

15.3.5　三維反射…………………228

15.4　圍繞一個任意軸旋轉一個點………229

15.5　變換的行列式 ………………………231

15.6　投影 ……………………………232

15.7　例題 …………………………………234

15.7.1　二維縮放和平移…………234

15.7.2　二維旋轉…………………234

15.7.3　旋轉變換的行列式………235

15.7.4　剪切變換的行列式………235

15.7.5　偏航、俯仰和橫滾變換……236

15.7.6　圍繞任意軸旋轉…………236

15.7.7　三維旋轉變換矩陣………237

15.7.8　投影…………………238

第16章　微積分：導數 …………………239

16.1　引言 …………………………………239

16.2　背景 …………………………………239

16.3　小的數字量…………………………240

16.4　方程與限…………………………241

16.4.1　二次函數…………………241

16.4.2　三次方程…………………242

16.4.3　函數與限的分析………244

16.4.4　導數的圖形解釋…………245

16.4.5　導數和微分………………246

16.4.6　積分和反導數……………246

16.5　函數類型 ……………………………247

16.6　求函數組的微分 …………………248

16.6.1　函數的和…………………248

16.6.2　覆合函數…………………249

16.6.3　函數的乘積………………252

16.6.4　函數的商…………………255

16.7　求隱函數的微分 …………………257

16.8　求指數函數和對數函數的微分 …259

16.8.1　指數函數…………………259

16.8.2　對數函數…………………261

16.9　求三角函數的微分 ………………262

16.9.1　求tan的微分……………262

16.9.2　求csc的微分……………263

16.9.3　求sec的微分……………263

16.9.4　求cot的微分……………264

16.9.5　 求arcsin、arccos和arctan

的微分 …………………264

16.9.6　 求arccsc、arcsec和arccot

的微分 …………………265

16.10　求雙曲函數的微分 ………………266

16.11　高導數…………………………268

16.12　多項式的高導數 ………………268

16.13　局大值或者小值的確定 …270

16.14　偏導數 ……………………………271

16.14.1　偏導數的可視化…………273

16.14.2　混合偏導數………………274

16.15　鏈式法則…………………………275

16.16　全導數 ……………………………277

16.17　冪級數 ……………………………278

16.18　例題 ………………………………280

16.18.1　反導數1…………………280

16.18.2　反導數2…………………281

16.18.3　求函數和的微分…………281

16.18.4　求函數乘積的微分………281

16.18.5　求隱函數的微分…………281

16.18.6　求一般隱函數的微分……282

16.18.7　 局大值或者局

小值 ……………………282

16.18.8　偏導數…………………283

16.18.9　混合偏導數1……………283

16.18.10　混合偏導數2…………284

16.18.11　全導數…………………284

第17章　微積分：積分 …………………285

17.1　引言 …………………………………285

17.2　不定積分 ……………………………285

17.3　積分技術 ……………………………286

17.3.1　連續函數…………………286

17.3.2　難以處理的函數…………286

17.3.3　三角恒等式………………287

17.4　總結…………………………………302

17.5　例題 …………………………………302

17.5.1　 求含其自身導數的函數的

積分 ……………………302

17.5.2　將一個積分分成幾個積分……303

17.5.3　分積分1………………303

17.5.4　分積分2………………304

17.5.5　換元積分1………………305

17.5.6　換元積分2………………306

17.5.7　換元積分3………………307

17.5.8　分分式積分……………307

第18章　面積 ……………………………309

18.1　引言 …………………………………309

18.2　曲線圖下的面積 …………………309

18.3　面積的計算 …………………………309

18.4　正面積和負面積 …………………315

18.5　兩個函數之間的面積 ……………316

18.6　函數與y軸之間的面積 …………317

18.7　參數函數的面積 …………………318

18.8　黎曼和 ………………………………319

18.9　旋轉曲面……………………………320

18.9.1　圓柱體的表面積…………321

18.9.2　直錐的表面積……………322

18.9.3　球體的表面積……………323

18.9.4　拋物面的表面積…………324

18.10　參數函數的表面積 ………………325

18.11　二重積分…………………………326

18.12　雅可比行列式 ……………………327

18.12.1　一維雅可比行列式………328

18.12.2　二維雅可比行列式………329

18.12.3　三維雅可比行列式………333

18.13　用二重積分計算面積 ……………334

18.14　總結 ………………………………337

第19章　體積 ……………………………339

19.1　引言 …………………………………339

19.2　旋轉體：切片法 …………………339

19.2.1　圓柱體的體積……………340

19.2.2　直錐的體積………………340

19.2.3　直錐臺的體積……………342

19.2.4　球體的體積………………343

19.2.5　橢球體的體積……………343

19.2.6　拋物面的體積……………345

19.3　旋轉體：殼層法 …………………345

19.3.1　圓柱體的體積……………346

19.3.2　直錐的體積………………346

19.3.3　球體的體積………………347

19.3.4　拋物面的體積……………348

19.4　用二重積分計算體積 ……………349

19.4.1　矩形盒子…………………350

19.4.2　矩形棱柱…………………350

19.4.3　由曲面構成…………351

19.4.4　具有圓形底面的對象……351

19.4.5　圓柱體……………………352

19.4.6　截柱………………………352

19.5　用三重積分計算體積 ……………353

19.5.1　矩形盒子…………………354

19.5.2　圓柱體的體積……………354

19.5.3　球體的體積………………356

19.5.4　圓錐的體積………………356

19.6　總結…………………………………357

附　　錄　………………………………………359

附錄A　sin θ/θ的限 …………………359

附錄B　求cosn θ的積分 ………………361