測度 積分與實分析
- 出版商: 機械工業
- 出版日期: 2026-07-01
- 售價: $834
- 語言: 簡體中文
- ISBN: 7111811259
- ISBN-13: 9787111811251
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相關分類:
數學
- 此書翻譯自: Measure, Integration & Real Analysis (Hardcover)
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商品描述
本書講述測度、積分和實分析的基本理論。在簡要回顧Riemann積分及其不足的基礎上，引入測度和積分的概念。接著詳細講解R上的外測度、可測空間與可測函數、Lebesgue測度等測度論基礎，以及Banach空間、Hilbert空間、實測度與覆測度、Fourier分析等進知識。書中穿一些數學家的故事和數學概念的發展，增加了趣味性。定理的嚴謹證明、恰當的例子以及大量的習題，能夠幫助讀者理解掌握相關知識。本書在多所大學進行了廣泛的課堂測試，是學生進入研究生數學之旅的理想資源。
目錄大綱
1外測度的動機與定義11
2.1.2外測度的好性質12
2.1.3閉有界區間的外測度15
2.1.4外測度是不可加的18
2.2可測空間與可測函數21
2.2.1σ代數22
2.2.2R的Borel子集23
2.2.3原像25
2.2.4可測函數26
2.3測度及其性質34
2.3.1測度的定義與例子34
2.3.2測度的性質35
2.4Lebesgue測度38
2.4.1外測度在Borel集上的可加性
38
2.4.2Lebesgue可測集43
2.4.3Cantor集與Cantor函數46
2.5可測函數的收斂性52
2.5.1逐點收斂與一收斂52
2.5.2Egorov定理53
2.5.3用簡單函數逼近54
2.5.4Luzin定理55
2.5.5Lebesgue可測函數58
第3章積分62
3.1關於測度的積分62
3.1.1非負函數的積分62
3.1.2單調收斂定理65
3.1.3實值函數的積分69
3.2積分的限與限的積分75
3.2.1有界收斂定理75
3.2.2積分定理中測度為0的集合76
3.2.3控制收斂定理77
3.2.4Riemann積分與Lebesgue積分
80
3.2.5用好的函數逼近81
第4章微分87
4.1Hardy-Littlewood大函數87
4.1.1Markov不等式87
4.1.2Vitali覆蓋引理88
4.1.3Hardy-Littlewood大不等式
89
4.2積分的導數92
4.2.1Lebesgue微分定理92
4.2.2導數94
4.2.3密度96
第5章乘積測度100
5.1測度空間的乘積100
5.1.1σ代數的乘積100
5.1.2單調類定理103
5.1.3測度的乘積106
5.2累次積分110
5.2.1Tonelli定理110
5.2.2Fubini定理112
5.2.3圖像下的面積114
5.3Rn上的Lebesgue測度116
5.3.1Rn的Borel子集116
5.3.2Rn上的Lebesgue測度118
5.3.3Rn中單位球的體積119
5.3.4借助於Fubini定理的混合偏導
的等式121
第6章Banach空間125
6.1度量空間125
6.1.1開集、閉集以及連續性125
6.1.2Cauchy序列與完備性129
6.2向量空間132
6.2.1覆值函數的積分132
6.2.2向量空間與子空間135
6.3賦範向量空間139
6.3.1範數與完備範數139
6.3.2有界線性映射142
6.4線性泛函146
6.4.1有界線性泛函146
6.4.2不連續線性泛函148
6.4.3Hahn-Banach定理151
6.5Baire定理的結果156
6.5.1Baire定理156
6.5.2開映射定理與逆映射定理158
6.5.3閉圖像定理160
6.5.4一有界原理161
第7章Lp空間165
7.1Lp(μ)165
7.1.1Hlder不等式165
7.1.2Minkowski不等式169
7.2Lp(μ)172
7.2.1Lp(μ)的定義172
7.2.2Lp(μ)是Banach空間173
7.2.3對偶性175
第8章Hilbert空間179
8.1內積空間179
8.1.1內積179
8.1.2Cauchy-Schwarz不等式與三角
不等式181
8.2正交性189
8.2.1正交投影189
8.2.2正交補193
8.2.3Riesz表示定理197
8.3規範正交基200
8.3.1Bessel不等式200
8.3.2Parseval等式206
8.3.3Gram-Schmidt過程與規範正交
基的存在性207
8.3.4重新審視Riesz表示定理211
第9章實測度與覆測度215
9.1全變差215
9.1.1實測度與覆測度的性質215
9.1.2全變差測度218
9.1.3測度的Banach空間221
9.2分解定理224
9.2.1Hahn分解定理224
9.2.2Jordan分解定理226
9.2.3Lebesgue分解定理227
9.2.4Radon-Nikodym定理228
9.2.5Lp(μ)的對偶空間231
第10章Hilbert空間上的線性映射
236
10.1伴隨與可逆性236
10.1.1Hilbert空間上的線性映射的
伴隨236
10.1.2伴隨的零空間與值域240
10.1.3算子的可逆性241
10.2譜247
10.2.1算子的譜247
10.2.2自伴算子251
10.2.3正規算子254
10.2.4等距與酉算子257
10.3緊算子262
10.3.1緊算子理想262
10.3.2緊算子的譜和Fredholm擇一
定理265
10.4緊算子的譜定理273
10.4.1征向量組成的規範正交基
273
10.4.2奇異值分解278
第11章Fourier分析284
11.1Fourier級數與Poisson積分
284
11.1.1Fourier系數與Riemann-Lebesgue
引理284
