認識數學常數 知識 與文化

柳重堪，1941年生於江蘇蘇州，1962年畢業於山東大學數學系，後在中國科學院數學與系統科學研究院進修。1963年至2008年，執教於北京航空航天大學，歷任應用數學教研室主任、應用數學專業責任教授、博士生導師，期間曾受邀赴英、日等多國高校進行客座講學。研究方向為應用數學與信息處理，曾主持完成十餘項國家自然科學基金、航空科學基金及國防科研項目，發表學術論文70餘篇，已出版圖書13種。享受政府特殊津貼，曾四度被北航學生評為“我心目中最愛戴的老師”，獲北京市首屆高校教學名師獎及全國電大優秀主講教師稱號。退休後，於2011年至2014年赴南方科技大學任教，其嚴謹的治學態度與教學貢獻廣受師生讚譽。

序
前言
第1章 0與1的故事：漫談記數系統
1.1 從1出發談記數
1.1.1 從身體計數與記數符號談起
1.1.2 來自冰河時代的骨棒刻痕
1.1.3 陶籌如何催生文字
1.1.4 泥板與楔形數字的誕生
1.2 早期位值記數法與0的誕生
1.2.1 “擺爛”的古巴比倫人
1.2.2 古希臘人對“空”的恐懼
1.2.3 古印度人對“空”的擁抱
1.3 結語：星星之火，可以燎原
第2章 □（數理化公式）2：第一個無理數的前世今生
2.1 有理數的黃金時代
2.2 從畢達哥拉斯定理到最早的無理數
2.2.1 畢達哥拉斯定理
2.2.2 計算的征程：實用主義與近似的藝術
2.3 結語：在舊系統的廢墟中重生
第3章 黃金分割率的上下五千年
3.1 黃金分割率的發現與發展
3.1.1 畢達哥拉斯學派與正五邊形
3.1.2 從《幾何原本》中的中末比到神聖比例
3.1.3 從數學走向人文——文藝覆興時期的再發現
3.2 黃金分割率、斐波那契數列與連分數
3.2.1 斐波那契數列與黃金分割率
3.2.2 連分數與黃金分割率
3.3 從數學抽象到現實世界
3.3.1 自然中的黃金分割率
3.3.2 人類文明中的黃金分割率——存在與否的迷思
3.4 結語：對和諧的永恒追求
第4章 π：完美圖形與無限的開端
4.1 窮竭的智慧與它的終結——古典幾何的巔峰
4.1.1 實用主義的起源
4.1.2 阿基米德的“窮竭”之術
4.1.3 保持千年精度世界紀錄的密率
4.1.4 人力的極限
4.2 新的“計算”——無窮級數的魔術
4.2.1 沃利斯的無窮乘積
4.2.2 萊布尼茨級數
4.2.3 巴塞爾問題
4.2.4 布豐投針
4.3 現代科學計算的標尺與數學文化的大使
4.3.1 皓首窮經的計算與正規性猜想
4.3.2 電子計算機的非凡威力
4.3.3 分布式計算與萬億位數的競賽
4.4 π與數學文化
4.5 結語：向無限前進
第5章 虛數單位i：無解的方程與數域的擴展
5.1 歷史的懸案：三次方程中的“幽靈”
5.2 負數開方的悖論：古代數學家面對□（數理化公式）-1的態度
5.2.1 數學史上最戲劇化的爭端：卡爾達諾、塔爾塔利亞與三次方程的解
5.2.2 捉“幽靈”的人：邦貝利的非凡想象力
5.3 i的誕生：從幾何解釋到代數基本定理
5.3.1 “虛數”一詞的由來
5.3.2 歐拉的定名與革命：i符號的正式確立
5.3.3 韋塞爾、阿岡與高斯的突破：將覆數視為二維平面上的點
5.3.4 虛數乘法的幾何意義
5.3.5 代數基本定理
5.4 i的應用：應用數學的奇跡
5.4.1 電氣工程中的相位：虛數在電氣工程分析中的實際應用
5.4.2 量子力學的脈搏：薛定諤方程中i對波函數演化的核心作用
5.5 結語：從“虛無”到“本質”再到強大的工具
第6章 自然對數之底e：衡量萬物生長的標尺
6.1 增長的極限：e的偶然誕生
6.1.1 雅各布·伯努利與連續覆利問題
6.1.2 約翰·納皮爾與對數：延長了天文學家壽命的發明
6.1.3 曲線下的面積
6.2 分析學的靈魂角色
6.2.1 歐拉的命名：常數e的確立
6.2.2 簡潔的無窮級數
6.2.3 “自然”的真諦：指數函數y=e^x及其導數
6.2.4 e的無理性及其他
6.2.5 歐拉恒等式（e^iπ+1=0）：五大常數的“華山論劍”
6.3 萬物的節拍：e與現實世界
6.3.1 人口增長與馬爾薩斯模型
6.3.2 放射性衰變與碳-14測年
6.3.3 混沌中的常數：錯排問題
6.3.4 秘書問題——停時問題與優化
6.3.5 e與社會生活
6.4 結語：自然的簽名
第7章 費根鮑姆常數：混沌之子
7.1 早期混沌系統的研究
7.1.1 拉普拉斯妖與機械宇宙觀
7.1.2 龐加萊的先見：三體問題中的“幽靈”
7.1.3 洛倫茲的“蝴蝶”：一個氣象學模型引發的革命
7.1.4 羅伯特·梅的邏輯斯諦映射：來自生態學的啟發
7.2 一臺計算器與一個固執的天才
7.2.1 米切爾·費根鮑姆：一個不循規蹈矩的物理學家
7.2.2 “我只需要一臺計算器”：HP-65上的孤獨探索
7.2.3 分岔，再分岔：級聯收斂的測量
7.2.4 “這個數字是普適的！”
7.2.5 尺度上的自相似：第二個常數α≈2.50 2…
7.3 “混沌”：一種看待世界的新方式
7.3.1 什麼是“普適性”——混沌系統的“個性”與“共性”
7.3.2 來自實驗室的勝利：利布哈伯的流體實驗
7.3.3 跨越尺度與領域：從水滴、心跳到金融市場
7.4 結語：預測的邊界
第8章 柴廷常數：探索計算的邊界
8.1 人類對公理系統與可計算性的思考
8.1.1 邏輯的算術化：從布爾到弗雷格
8.1.2 希爾伯特的努力：為了數學的榮耀
8.1.3 哥德爾不完備性定理：理性的內在裂痕
8.1.4 機器的宿命：圖靈機與不可判定的深淵
8.2 濃縮的無限——柴廷常數Ω的降臨
8.2.1 波萊爾的設想