數學與生活(修訂版)

　　遠山啟（1909－1979），1938年日本東北大學理學部代數學專業畢業。日本當代數學教育家，日本數學教育議會創辦人、初代委員長，倡導改革傳統的應試數學教育方式，創立“水管式教學法”“磁磚指導法”等新式的數學教學方法。他在學術方面造詣很深，著述頗豐。如《限與連續》《現代數學對話》《函數論》等。

目　錄

第 1章　數的幼年期　1

1.1　從未開化到文明　1

1.2　數的黎明　2

1.3　一一對應　4

1.4　分割而不變　5

1.5　數的語言　6

1.6　數詞的發展　7

1.7　手指計數器　10

1.8　金字塔　11

1.9　二十進制　14

1.10　十二進制　16

1.11　六十進制　17

1.12　定位與0的祖先　17

第 2章　離散量和連續量　19

2.1　多少個和多少　19

2.2　用單位測量　20

2.3　連續量的表示方法　22

2.4　分數的意義　25

2.5　折疊和擴展　27

2.6　分數的比較　29

2.7　分數的加法和減法　30

2.8　乘法的擴大解釋　32

2.9　乘減少，除增大　34

2.10　小數的意義　37

2.11　分數和小數　38

2.12　循環小數和分數　41

2.13　非循環小數　43

2.14　加減和乘除　44

2.15　數學和現實世界　47

第3章　數的反義詞　49

3.1　正和負　49

3.2　新數的名稱　50

3.3　負的符號　52

3.4　正和負的加法　53

3.5　減法運算　54

3.6　司湯達的疑問　55

3.7　乘法運算規則　56

3.8　與實際的聯系　58

3.9　有理數的域　60

3.10　代數和61

第4章　代數——靈活的算數　63

4.1　代名詞的算術　63

4.2　代數的文法·交換律　65

4.3　結合律　66

4.4　分配律　68

4.5　方程　70

4.6　代數的語源　73

4.7　龜鶴算　73

4.8　一次方程　75

4.9　聯立方程　78

4.10　矩陣和向量　80

4.11　矩陣的計算　84

4.12　聯立方程和矩陣　88

4.13　奇妙的代數　89

第5章　圖形的科學　94

5.1　兩部長期暢銷書　94

5.2　分析的方法　95

5.3　分析和綜合　96

5.4　連接　98

5.5　全等三角形　100

5.6　公理　101

5.7　泰勒斯定理　103

5.8　驢橋定理　105

5.9　條件和結論　107

5.10　對稱性　109

5.11　定理的聯系　112

5.12　三邊全等定理　114

5.13　捉老鼠的邏輯——反證法　116

5.14　脊背重合　117

5.15　垂直於平面的直線　119

5.16　平行線　120

5.17　三角形的內角　123

5.18　驢都知道　124

5.19　驢解決不了的問題　127

5.20　倒推法　129

5.21　與三點等距離的點　130

第6章　圓的世界　133

6.1　直線和圓的世界　133

6.2　神的難題　136

6.3　圓的四邊形化　138

6.4　圓周角不變定理　140

6.5　面積　144

6.6　畢達哥拉斯定理　148

6.7　長度計算法　151

6.8　從觸覺到視覺　153

6.9　相似和比例　156

6.10　相似的條件　158

6.11　五角星　162

6.12　五角星的秘密　164

6.13　有理數普遍存在　166

6.14　無理數普遍存在　168

6.15　實數　169

第7章　復數——**後的樂章　171

7.1　二次方程　171

7.2　二次方程的解法　173

7.3　先天不足的數　175

7.4　復數　177

7.5　加法和減法　179

7.6　乘法和除法　181

7.7　正多邊形　185

7.8　正五邊形　188

7.9　高斯的發觀　190

7.10　三次方程　191

7.11　卡爾達諾公式　193

7.12　數的進化　197

7.13　四則逆運算　198

7.14　代數學的基本定理　200

第8章　數的魔術與科學　202

8.1　萬物都是數　202

8.2　數的魔術　204

8.3　恒等式　205

8.4　恒等式的計算法　210

8.5　求約數的方法　211

8.6　公倍數與公約數　214

8.7　素數　217

8.8　分解　219

8.9　費馬定理　221

8.10　循環小數　222

第9章　變化的語言——函數　224

9.1　變與不變　224

9.2　變數和函數　226

9.3　正比例　229

9.4　鸚鵡的計算方法　230

9.5　變化的形式　231

9.6　各種類型的函數　232

9.7　圖表　234

9.8　函數的圖表　235

9.9　解析幾何學　239

9.10　直線　240

9.11　相交和結合　242

9.12　貝祖定理　244

9.13　圓錐曲線　246

9.14　二次曲線　248

第 10章　無窮的算術——極限　251

10.1　運動和無窮　251

10.2　無窮級數　253

10.3　無窮悖論　255

10.4　沒有答案的加法　257

10.5　一種空想的遊戲　259

10.6　柯西的收斂條件　263

10.7　收斂和加減乘除　266

10.8　規則的數列　269

10.9　帕斯卡三角形　271

10.10　數學歸納法　273

10.11　高斯分布　276

10.12　階差　277

第 11章　伸縮與旋轉　281

11.1　老鼠算　281

11.2　2倍的故事　283

11.3　數砂子　284

11.4　負的指數　285

11.5　分數的指數　286

11.6　指數函數　288

11.7　對數　290

11.8　連續的復利法　292

11.9　旋轉　294

11.10　正弦曲線和余弦曲線　297

11.11　極坐標　299

11.12　正弦定理和余弦定理　300

11.13　海倫公式　302

11.14　永遠曲線　304

11.15　歐拉公式　306

11.16　加法定理　308

第 12章　分析的方法——微分　310

12.1　望遠鏡和顯微鏡　310

12.2　思考的顯微鏡　311

12.3　微分　314

12.4　流量和流率　316

12.5　指數函數的微分　317

12.6　函數的函數　322

12.7　反函數　323

12.8　函數的函數的微分　325

12.9　內插法　329

12.10　泰勒級數　333

12.11　**大**小　335

12.12　**小原理　339

第 13章　綜合的方法——積分　342

13.1　分析與綜合　342

13.2　德謨克裏特方法　344

13.3　球的表面積·阿基米德方法　346

13.4　雙曲線所圍成的面積　348

13.5　定積分　351

13.6　卡瓦列裏原理　354

13.7　基本定理　357

13.8　不定積分　361

13.9　積分變換　364

13.10　酒桶的體積　364

13.11　科學和藝術　367

13.12　各種各樣的地圖　367

13.13　擺線圍成的面積　371

13.14　曲線的長度　372

第 14章　微觀世界——微分方程　375

14.1　逐步解決法　375

14.2　方向場　377

14.3　折線法　379

14.4　落體法則　381

14.5　線性微分方程　383

14.6　振動　386

14.7　衰減振動　388

14.8　從開普勒到牛頓　389

14.9　積分定律和微分定律　393

14.10　拉普拉斯的魔法　394

14.11　鎖鏈的曲線　395

附錄　399

參考文獻　401

後記　402