數學的誕生

吉田洋一 出生於東京。畢業於東京大學理學部數學專業。曾先後在東京大學、北海道大學、立教大學、埼玉大學擔任教授。著有《勒貝格積分入門》《微分積分學》《數學的誕生》等。其中，《數學的誕生》首次出版於 1954 年；作為一部具有持久影響力的數學入門著作，該書至今已被廣泛閱讀半個多世紀。

赤 攝也 1949 年畢業於東京大學理學部數學專業。曾先後在立教大學、東京教育大學（1973 年與其他院校合並，組建為“築波大學”）、放送大學擔任教授。著有《公理與證明》《集合論入門》《實數講義》《現代數學概論》等。

第一章 幾何學精神——帕斯卡與歐幾裏得 1

帕斯卡的“說服的藝術”　1

幾何學精神　3

歐幾裏得的《幾何原本》　4

正確的推論形式　9

亞歷山大城的數學　13

幾何學在三角測量法中的應用　15

古希臘幾何學的特征　21

第二章　光從東方來——代數學的誕生　25

羅馬的數學　25

位值制記數法與0的發明　26

印度的數學　27

阿拉伯的數學　30

符號的用途　31

一般方程的導入　32

第三章　畫出來的數——笛卡兒的幾何學　36

數與圖形的統一　36

點的坐標與兩點之間的距離　39

直線的方程　41

圓周的方程　46

必要條件與充分條件　47

用解析幾何學處理問題　48

笛卡兒與費馬　50

圓錐曲線　51

圓錐曲線理解方式的變遷　53

圓錐曲線的方程　56

圓錐曲線理解方式的統一　57

第四章　作切線——微分法與極限的概念　61

切線的作法　61

費馬的方法　63

巴羅的方法　65

牛頓的流數術　67

萊布尼茨的微分法　68

函數的概念　69

導函數及其性質　72

極限概念的誕生　76

微分法的公式　78

連續函數　80

第五章　測量面積——面積與積分法的概念　82

面積是什麼　82

古希臘人關於面積的研究　83

面積與窮竭法　84

曲邊梯形與定積分　86

微積分基本定理　89

柯西與勒貝格　95

微積分的創始者們　96

第六章　數學是什麼——希爾伯特的形式主義　98

再談“說服的藝術　”　98

平行線問題　9

羅巴切夫斯基幾何學與黎曼幾何學　102

希爾伯特對數學的思考　106

形式主義數學的使命　111

歐幾裏得幾何學的重編　112

推論的形式與數學　117

第七章　煥然一新的代數學——群、環、域　119

二次方程的解法與虛數　119

虛數的構成　125

“域”的概念　128

代數學基本定理　130

代數的解法　131

兩個域之間的次數　138

作圖問題　140

形式主義下代數學的重編　147

群與埃朗根綱領　152

第八章　切分直線——實數的概念與無限主義的形成　157

實數的連續性　157

實數概念的分析　162

戴德金的實數論　165

關於“小數”　169

可列集　172

“無限”種種　177

第九章　數學的基礎奠定——集合論的漏洞與證明論的誕生　179

體會實數的構造方式　179

羅素悖論　187

如何證明無矛盾性　188

證明的結構　191

無矛盾性證明的一個例子　197

第十章　處理偶然——概率與統計　203

數學與科學　203

但書規則　205

概率的概念　206

概率論公理體系的建立　210

重復的表現　213

風險率與推測統計學　217

後記　自然數論的無矛盾性證明　222

筆者認為的有限主義立場　22

自然數　22

佩亞諾公理體系　23

自然數論的無矛盾性　223