經濟數學——微積分（慕課版 第2版）

張天德，山東大學數學學院教授，泰山學堂主講教師，山東數學會高等數學專業委員會主任,大學生數學競賽山東賽區負責人，微課程比賽山東賽區副主任兼秘書長,中學生英才計劃導師,中國大學先修課程《微積分》特聘教授。作為主要成員完成國家科學基金及山東省自然科學基金項目6項，主持或參與省部級教學研究項目5項；在《J.Comput.Anal.Applications》《系統科學與數學》《物理學報》《工程數學學報》等雜誌發表學術論文50余篇；在科學出版社、高等教育出版社、清華大學出版社等出版社出版高等學校數學教科書、參考教材和專著50余部，參與編寫的《微積分》入選國家十二五規劃教材。曾獲“山東省中青年學術骨幹、學科帶頭人”“英才計劃指導教師”“科技創新導師”等稱號。

第 1章　函數、極限與連續

1.1　函數　1

1.1.1　預備知識　1

1.1.2　函數的概念及常見的分段函數　4

1.1.3　函數的性質及四則運算　6

1.1.4　反函數　8

1.1.5　復合函數　9

1.1.6　初等函數　10

1.1.7　經濟學中常用的函數　11

同步習題1.1　15

1.2　極限的概念與性質　16

1.2.1　數列極限的定義　16

1.2.2　數列極限的性質　18

1.2.3　函數極限的定義　18

1.2.4　函數極限的性質　21

同步習題1.2　23

1.3　極限的運算法則　24

1.3.1　極限的四則運算法則　24

1.3.2　極限存在準則　25

1.3.3　重要極限Ⅰ　28

1.3.4　重要極限Ⅱ　29

同步習題1.3　30

1.4　無窮小量與無窮大量　31

1.4.1　無窮小量　31

1.4.2　無窮大量　32

1.4.3　無窮小量階的比較　33

1.4.4　等價無窮小代換　34

同步習題1.4　35

1.5　函數的連續性　37

1.5.1　函數連續的定義　37

1.5.2　函數的間斷點　38

1.5.3　連續函數的性質　39

1.5.4　閉區間上連續函數的性質　40

同步習題1.5　41

第　1章總復習題·基礎篇　43

第　1章總復習題·提高篇　44

第　2章 導數與微分

2.1　導數的概念　46

2.1.1　經典引例　46

2.1.2　導數的定義　47

2.1.3　導數的幾何意義　51

2.1.4　可導與連續的關系　51

同步習題2.1　53

2.2　函數的求導法則　54

2.2.1　函數和、差、積、商的求導法則　54

2.2.2　反函數求導法則　55

2.2.3　復合函數求導法則　56

2.2.4　高階導數　58

同步習題2.2　60

2.3　隱函數求導法與對數求導法　61

2.3.1　隱函數求導法　61

2.3.2　對數求導法　62

同步習題2.3　64

2.4　函數的微分　64

2.4.1　微分的定義　65

2.4.2　微分的幾何意義　66

2.4.3　微分的計算　67

2.4.4　微分的應用　68

同步習題2.4　68

2.5　導數在經濟學中的應用舉例　69

2.5.1　邊際分析　69

2.5.2　彈性分析　73

同步習題2.5　77

第　2章總復習題·基礎篇　78

第　2章總復習題·提高篇　79

第3章　微分中值定理與導數的應用

3.1　微分中值定理　81

3.1.1　羅爾定理　81

3.1.2　拉格朗日中值定理　83

3.1.3　柯西中值定理　85

同步習題3.1　86

3.2　洛必達法則　87

3.2.1　“〖SX(〗0〖〗0〖SX)〗”型未定式　87

3.2.2　“〖SX(〗∞〖〗∞〖SX)〗”型未定式　89

3.2.3　其他類型的未定式　90

同步習題3.2　93

3.3　泰勒公式　94

3.3.1　泰勒中值定理　94

3.3.2　麥克勞林公式　95

3.3.3　幾個重要初等函數的麥克勞林公式　96

3.3.4　泰勒公式的應用　97

同步習題3.3　98

3.4　函數的單調性、極值和最值　99

3.4.1　函數的單調性　99

3.4.2　函數的極值　101

3.4.3　函數的最值　103

同步習題3.4　105

3.5　曲線的凹凸性及函數作圖　107

3.5.1　曲線的凹凸性與拐點　107

3.5.2　曲線的漸近線　109

3.5.3　函數作圖　110

同步習題3.5　112

第3章總復習題·基礎篇　113

第3章總復習題·提高篇　114

第4章　不定積分

4.1　不定積分的概念與性質　116

4.1.1　原函數　116

4.1.2　不定積分的定義　117

4.1.3　不定積分的幾何意義　118

4.1.4　不定積分的性質　118

4.1.5　基本積分公式　119

同步習題4.1　121

4.2　換元積分法　122

4.2.1　第 一換元積分法　122

4.2.2　第二換元積分法　125

同步習題4.2　129

4.3　分部積分法　130

同步習題4.3　134

第4章總復習題·基礎篇　135

第4章總復習題·提高篇　136

第5章　定積分及其應用

5.1　定積分的概念與性質　137

5.1.1　兩個實際問題　137

5.1.2　定積分的定義　139

5.1.3　定積分的意義　140

5.1.4　定積分的性質　140

同步習題5.1　142

5.2　微積分基本公式　143

5.2.1　積分上限函數　143

5.2.2　微積分基本公式　144

5.2.3　定積分的換元積分法　145

5.2.4　定積分的分部積分法　148

同步習題5.2　150

5.3　反常積分　151

5.3.1　無窮區間上的反常積分　152

5.3.2　無界函數的反常積分　154

5.3.3　反常積分斂散性判別法　155

5.3.4　Γ函數　158

同步習題5.3　159

5.4　定積分的應用　160

5.4.1　微元法　160

5.4.2　定積分在幾何學中的應用　161

5.4.3　定積分在經濟學中的應用　165

同步習題5.4　168

第5章總復習題·基礎篇　169

第5章總復習題·提高篇　171

第6章　常微分方程與差分方程

6.1　微分方程的基本概念　173

6.1.1　引例　173

6.1.2　微分方程的定義　174

同步習題6.1　175

6.2　一階微分方程　176

6.2.1　可分離變量的微分方程　176

6.2.2　齊次方程　177

6.2.3　一階線性微分方程　178

同步習題6.2　181

6.3　高階線性微分方程　182

6.3.1　線性微分方程解的結構　182

6.3.2　二階常系數線性齊次微分方程　182

6.3.3　二階常系數線性非齊次微分方程　185

同步習題6.3　188

6.4　簡單差分方程　188

6.4.1　差分的定義　188

6.4.2　差分的運算法則　189

6.4.3　差分方程的定義　189

6.4.4　n階常系數線性差分方程解的結構　190

6.4.5　一階常系數線性差分方程的解法　190

6.4.6　二階常系數線性差分方程的解法　194

同步習題6.4　196

第6章總復習題·基礎篇　197

第6章總復習題·提高篇　198

第7章　無窮級數

7.1　常數項級數的相關概念及性質　200

7.1.1　常數項級數的定義及斂散性　200

7.1.2　收斂級數的性質及級數收斂的必要條件　203

7.1.3

幾何級數應用舉例　205

同步習題7.1　206

7.2　常數項級數斂散性判別法　207

7.2.1　正項級數及其斂散性判別法　208

7.2.2　交錯級數及其斂散性判別法　212

7.2.3　絕對收斂和條件收斂　213

同步習題7.2　214

7.3　冪級數　216

7.3.1　函數項級數　216

7.3.2　冪級數的定義及斂散性　218

7.3.3　冪級數的運算與和函數　220

同步習題7.3　223

7.4　函數的冪級數展開式　225

7.4.1　泰勒級數　225

7.4.2　函數的冪級數展開　226

同步習題7.4　229

第7章總復習題·基礎篇　230

第7章總復習題·提高篇　232

第8章　多元函數微分學及其應用

8.1　空間解析幾何的基礎知識　234

8.1.1　空間直角坐標系及空間兩點間的距離　234

8.1.2　向量　235

8.1.3　空間平面方程　239

8.1.4　空間直線方程　240

8.1.5　空間曲面　240

8.1.6　空間曲線　244

8.1.7　二次曲面　244

同步習題8.1　246

8.2　多元函數的基礎知識　247

8.2.1　多元函數的相關概念　247

8.2.2　二元函數的極限　250

8.2.3　二元函數的連續性　251

同步習題8.2　252

8.3　偏導數與全微分　253

8.3.1　偏導數　253

8.3.2　高階偏導數　256

8.3.3　全微分　256

8.3.4　偏邊際與偏彈性　259

同步習題8.3　262

8.4　多元復合函數和隱函數的求導　262

8.4.1　多元復合函數的求導法則　263

8.4.2　隱函數的求導法則　266

同步習題8.4　269

8.5　多元函數的極值與最值　269

8.5.1　多元函數的極值　269

8.5.2　多元函數的最值　272

8.5.3　條件極值　273

同步習題8.5　275

第8章總復習題·基礎篇　276

第8章總復習題·提高篇　278

第9章　二重積分

9.1　二重積分的概念與性質　280

9.1.1　二重積分的定義　280

9.1.2　二重積分的性質　282

同步習題9.1　284

9.2　二重積分在直角坐標系下的計算　285

9.2.1　直角坐標系下的面積元素　285

9.2.2　積分區域的分類　285

9.2.3　化二重積分為二次積分　287

9.2.4　交換二次積分次序　289

同步習題9.2　290

9.3　二重積分在極坐標系下的計算　291

9.3.1　二重積分在極坐標系下的表示　291

9.3.2　極坐標系下二重積分的計算　291

同步習題9.3　295

9.4　二重積分的應用　296

9.4.1　二重積分在經濟學中的應用舉例　296

9.4.2　無界區域上的反常二重積分　296

同步習題9.4　298

第9章總復習題·基礎篇　298

第9章總復習題·提高題　300

附錄　使用Python解決經濟數學問題

一、Python基礎知識　302

二、在Python中實現問題求解　303