畢達哥拉斯的遺產： 改變數學的10個偉大思想

馬塞爾·達內西(Marcel Danesi)

多倫多大學教授，菲爾茲數學科學研究院認知科學網絡聯席主任。他在數學認知領域和數學難題理論方面發表了大量文章，還為《今日心理學》撰寫博客，探討令人困惑的思維本質。

第1章 畢達哥拉斯定理：數學的誕生 1

證明的作用遠不止在邏輯上證實你的懷疑或猜想。證明需要靈感，靈感依靠想象力，而想象力依靠直覺，所以證明超越了瑣碎平庸和常規俗套的現實，迫使人們更深入地探索數學世界。

第2章素數：數學的“DNA”　26

素數是容易被定義的，但是它的分布是變幻莫測的，以至於成為數學中影響非常久遠、深刻的驚奇之事。

第3章　0：占位符和特殊數字　40

如果沒有　0 ，數學便不能成為一個強大的科學工具。但是作為一個特殊的數字，0 在數學系統中也造成了“故障”，例如 0 作為除數時的謬誤。但是錯誤本身往往是新想法的來源。

第4章　π（圓周率）：一個無處不在又不同尋常的數字　62

π存在於從恒星軌道到心臟脈搏的一切事物中，即便我們不能直接從生活中看到它，但

它依然影響著我們生活中的一切。我們只能從與圓相關的比例、數軸上的一點等地方片面地感受它，但是它確實無處不在。

第5章指數：符號和發現　77

googolplex被定義為　10 的 googol 次冪，我們無法想象這到底代表多大的數字。天文學家卡爾·薩根曾經說過，寫出一個 googolplex 在物理上根本不可能，因為宇宙中沒有足夠的空間。

第6章e：一個非常特殊的數字　91

術語“方程”意味著可以解決的問題，就像通過求解　x + 2 = 4可以得到 x=2，但是歐拉恒等式不是這樣的。這個方程沒有解，它只是一個事實陳述。

第7章　i：虛數　103

在現實世界，如果你能觀察到某物，它就存在，如果觀察不到，還可以從能觀察到的事物中推斷出它存在。我們知道重力存在，是因為我們可以觀察到它的影響，即使沒有人看得到重力……然而數字不是這樣的。它不是一個東西，而是一個概念。

第8章　無窮大：一個違反直覺且自相矛盾的概念　115

一個孩子問：“上帝什麼事都做得到嗎？”收到肯定的答復後，她立刻問：“那他能造出一塊連自己也舉不起來的石頭嗎？”

第9章可判定性：數學的基礎　130

邏輯是解決人類所有問題的唯一有效途徑，因為人類大多數問題都是由情感和激情引起的，邏輯有能力馴服它們。

第10章算法：數學和計算機　143

在任何邏輯系統中，總有一些陳述是真的，但不能在陳述中證明。這意味著邏輯系統本質上是不可判定的，也包括計算機系統。

答案　155