數學與生活5：數學的歷史、現代與方法

遠山啟 Hiraku Toyama

東京工業大學教授。日本當代著名數學教育家，日本數學教育議會創辦人、初代委員長，倡導改革傳統的應試數學教育方式，創立“水管式教學法”“瓷磚指導法”等新式的數學教學方法。他在學術方面造詣很深，著述頗豐。著有《數學與生活》《數學與生活2：要領與方法》《數學與生活3：無窮與連續》《數學與生活4：函數是什麼》《現代數學對話》等。

第1 章 數學的變遷

 

1.1　古代數學　2

時代的劃分　2

古代數學——古埃及、中國　4

古希臘數學與泰勒斯　6

 

1.2　中世紀數學　9

畢達哥拉斯　9

古希臘的社會　10

歐幾裏得的《幾何原本》　12

阿基米德與阿拉伯文化　13

 

1.3　近代數學　16

笛卡兒與《談談方法》　16

坐標與分析·　綜合　18

變化與運動　20

從天動說到地動說　21

伽利略與地動說　22

微分與積分　24

牛頓與萊布尼茨之爭　26

微積與積分的力量　27

開普勒三定律　29

微分、積分與牛頓力學　31

牛頓力學與相對論　34

函數是什麼　36

黑箱　40

因果的法則　45

統計法則的背景　47

統計的方法　49

 

1.4　現代數學　52

現代數學的特征　52

幾何學成為數學發展的分界線　53

未定義概念　55

集合是什麼　58

包含與被包含　61

集合與形式邏輯　63

合成與分解　65

對應與映射　66

數學原子論　68

空間性　68

一一對應　70

無窮集合　71

集合與結構　73

結構是什麼——同構　75

結構的科學　81

拓撲結構　84

代數結構　87

序結構　93

構成的方法　95

現代數學、藝術與科學　97

動態體系　98

群　100

解剖法與問診法　102

數學學習法　105

 

第2　章 現代數學的邀請

 

2.1　邀請之一　110

構想力的解放　112

結構　114

集合論　117

 

2.2　邀請之二　120

集合論的創始者　120

基數　123

可數無窮　126

 

2.3　邀請之三　131

康托爾的目標　131

集合論的性格　134

集合的乘方　135

子集的集合　139

 

2.4　邀請之四　142

集合　142

公理　143

同構性　147

結構　149

 

2.5　邀請之五　152

群　152

置換群　157

子群　163

 

2.6　邀請之六　165

子群的位數　165

同構　167

自同構的群　173

 

2.7　邀請之七　176

同態　176

剩余群　181

子群的交集與並集　186

 

2.8　邀請之八　188

同構定理　188

域　191

有限域　196

 

2.9　邀請之九　203

域的特征　203

最小的域　207

特征為p　的域　214

 

2.10　邀請之十　217

環　217

環的實例　218

有限環　221

同態環　224

 

2.11　邀請之十一　230

多元環　230

四元數　237

 

2.12　邀請之十二　241

分析與綜合　241

同構與同態　243

直和與直積　248

冪零與冪等　249

 

2.13　邀請之十三　254

各種各樣的距離　254

無窮維的距離空間　261

函數空間　263

 

2.14　邀請之十四　267

鄰域　267

閉包點與閉包　270

閉集與開集　273

 

2.15　邀請之十五　278

拓撲空間與分離公理　278

T0-　空間　280

T1-　空間　283

T2-　空間　284

T3-　空間　285

連續映射　286

拓撲的強弱　288