課堂上學不到的數學：函數

張景中：計算機科學家、數學家和數學教育家，中國科學院院士，曾任四川省計算機學會理事長、第四屆中國科普作家協會理事長、第一屆中國高等教育學會教育數學專業委員會理事長。對幾何定理可讀機器證明、教育數學、距離幾何及動力系統、教育信息技術等學科領域以及數學科普做出了突出貢獻，成果顯著。曾獲國家技術發明獎二等獎、國家自然科學獎二等獎、國家科學技術進步獎二等獎、中國科學院自然科學獎一等獎、中國計算機學會終身成就獎、中國國家圖書獎、五個一工程獎、全國五一勞動獎章、全國優秀科普作品獎等。榮獲“建國以來貢獻突出的科普作家”等榮譽稱號。 王鵬遠：北大附中退休數學教師，曾擔任北京市中學數學學科帶頭人。長期從事數學教育和數學教育技術的研究推廣工作，編寫有《信息技術與中學數學教育》等多部著作，公開發表數學教育論文百余篇。曾參與教育部立項的多個課題，多次策劃和參與數學教師培訓活動。2014年，與張景中院士合作編寫的《少年數學實驗》一書榮獲第三屆中國科普作家協會優秀科普作品獎金獎。

第1章 初識函數：從面積到正弦 1 1.1　從計算面積引出正弦函數　1 1.2　正弦定理　5 1.3　為計算正弦引出和角公式　10 1.4　引入定向面積來擴充正弦定義　14 1.5　余弦的幾何意義和余弦定理　17 1.6　回顧　20 思考題　21 第2章　溫故知新：正比例函數與一次函數　23 2.1　初識變量與函數　23 2.1.1　變量與常量　23 2.1.2　函數：刻畫運動與變化的數學模型　24 2.1.3　函數的表示　26 2.2　一個最簡單的函數——正比例函數　28 2.2.1　正比例函數的定義　28 2.2.2　正比例函數的圖象與性質　30 2.3　從正比例函數到一次函數　34 2.3.1　一次函數的定義　34 2.3.2　一次函數的圖象與性質　35 2.3.3　一次函數與二元一次方程　36 2.3.4　一次函數例題選講　38 2.3.5　一次函數應用舉例　47 2.4　多知道一點：談談開平方　53 思考題　54 第3章　從一次函數到二次函數　57 3.1　二次函數的定義　57 3.2　二次函數的圖象和性質　60 3.2.1　y = x2的圖象　60 3.2.2　y = ax2（a＞0）的圖象和性質　63 3.2.3　（a＞0）的圖象和性質　64 3.2.4　y = a(x h)2 + k的圖象和性質　64 3.2.5　y = ax2 + bx + c的圖象和性質　66 3.3　二次函數例題選講　67 3.4　二次函數應用舉例　78 3.5　多知道一點：初識導數　90 3.5.1　何為增大　90 3.5.2　什麼是平均變化率與瞬時變化率　91 3.5.3　初識導數　93 3.5.4　用導數研究函數的單調性　93 思考題　95 第4章　反比例函數　96 4.1　反比例函數的定義　96 4.2　反比例函數的圖象和性質　98 4.2.1　反比例函數 的圖象　98 4.2.2　反比例函數 （k ≠ 0）的圖象　100 4.2.3　反比例函數 （k ≠ 0）的性質　102 4.3　例題選講　104 4.4　反比例函數應用舉例　113 4.5　多知道一點　120 4.5.1　“對勾”函數　120 4.5.2　分式線性函數　121 4.5.3　二次函數的倒數函數　123 4.5.4　通過雙曲線比較平均數　125 思考題　127 第5章　對函數的再認識　128 5.1　什麼是函數　128 5.2　函數的符號表示　132 5.3　反函數　134 5.4　分段函數　140 5.5　函數的性質　147 5.5.1　函數的單調性和有界性　147 5.5.2　函數的奇偶性　154 5.5.3　函數的周期性　162 5.5.4　函數的連續性　164 5.6　數學建模　168 5.7　函數概念發展簡史　174 思考題　177 第6章　冪函數、指數函數和對數函數　178 6.1　冪函數　179 6.1.1　有理數指數冪　179 6.1.2　正數的無理數指數冪　181 6.1.3　冪函數的一般性質　183 6.2　指數函數　185 6.3　對數函數　188 6.3.1　對數的概念　188 6.3.2　對數的運算法則　189 6.3.3　自然對數　190 6.4　指數函數和對數函數應用實例　201 6.5　指對函數和對數函數例題選講　207 思考題　214 第7章　走進豐富的三角函數世界　215 7.1　三角函數概念的擴充　215 7.1.1　摩天輪引出的數學問題　215 7.1.2　任意角的三角函數定義　216 7.1.3　三角函數線　217 7.1.4　角的弧度制　218 7.2　三角函數的圖象與性質　219 7.2.1　正弦函數y = sin x的圖象與性質　219 7.2.2　余弦函數y = cos x的圖象和性質　221 7.2.3　正切函數y = tan x的圖象和性質　222 7.3　三角函數圖象的變換　223 7.3.1　伸縮變換之一：從y = sin x到y = Asin x　223 7.3.2　伸縮變換之二：從y = sin x到y = sin ωx　224 7.3.3　平移變換：從y = sin x到y = sin(x +φ)　225 7.3.4　從y = sin x到y = Asin(ωx +φ)　226 7.4　例題選講　228 7.5　三角函數在實際生活中的應用舉例　236 7.5.1　簡諧運動與三角函數　236 7.5.2　潮汐與船只進港時間　240 7.5.3　發電機與三角函數　242 7.5.4　血壓在一天內的變化　243 7.5.5　預測旅遊人數的最值　244 7.5.6　摩天輪中的數學　245 7.6　多知道一點：從三角函數圖象的疊加談到數學家傅立葉　246 思考題　249 第8章　微積分初步　251 8.1　從差商到導數　252 8.1.1　函數的差商　252 8.1.2　差商的控制函數　254 8.1.3　從控制函數引出函數的導數　258 8.1.4　導數的基本性質　263 8.1.5　導數的正負決定函數的增減　264 8.2　從面積到積分　267 8.2.1　曲邊梯形面積與定積分　267 8.2.2　微積分基本定理　270 8.3　求導法則總結　272 8.3.1　基本求導法則　272 8.3.2　初等函數求導公式　276 8.4　微積分的應用　279 8.4.1　泰勒公式　279 8.4.2　平面區域的面積　285 8.4.3　切線　290 8.4.4　回顧和展望　295 思考題　301 後記　302