線性代數

第1章 線性方程組與行列式 1
1.1 線性方程組 1
1.2 二階與三階行列式 2
1.2.1 二階行列式 2
1.2.2 三階行列式 3
1.3 n階行列式定義 5
1.3.1 排列及其逆序數 5
1.3.2 n階行列式的定義 6
1.4 行列式的性質 9
1.5 行列式按行（列）展開 15
1.5.1 余子式與代數余子式 15
1.5.2 按一行（列）展開定理 16
1.6 克拉默法則 22
1.7 擴展閱讀 25
1.7.1 行列式的幾何意義 25
1.7.2 使用MATLAB計算行列式 26
1.8 課後習題 27
第2章 矩陣及其運算 32
2.1 矩陣的概念及應用 32
2.1.1 矩陣的定義 32
2.1.2 幾種常用的矩陣 33
2.1.3 矩陣的應用 35
2.1.4 線性方程組的矩陣表示 36
2.2 矩陣的運算 37
2.2.1 矩陣的加法 37
2.2.2 數與矩陣相乘 38
2.2.3 矩陣與矩陣相乘 39
2.2.4 矩陣的轉置 43
2.2.5 方陣的行列式 45
2.2.6 共軛矩陣 48
2.3 逆矩陣 48
2.3.1 逆矩陣的定義 49
2.3.2 可逆矩陣的性質 50
2.3.3 逆矩陣在方程組中的應用 52
2.4 矩陣多項式 54
2.5 矩陣分塊法 55
2.5.1 分塊矩陣的概念 55
2.5.2 分塊矩陣的運算 56
2.5.3 矩陣的特殊分塊法 60
2.6 擴展閱讀 63
2.6.1 谷歌PageRank算法 63
2.6.2 MapReduce 64
2.7 課後習題 65
第3章 矩陣的初等變換和線性方程組求解 69
3.1 矩陣的初等變換 69
3.1.1 高斯消元法 69
3.1.2 矩陣的初等行變換和初等列變換 72
3.1.3 行階梯形矩陣及行最簡形矩陣 72
3.2 初等矩陣 74
3.3 用矩陣的初等變換求逆矩陣 78
3.4 矩陣的秩 80
3.4.1 矩陣的秩的定義 80
3.4.2 矩陣的秩的性質 81
3.5 線性方程組求解 83
3.5.1 齊次線性方程組的解 83
3.5.2 非齊次線性方程組的解 85
3.6 擴展閱讀 91
3.6.1 矩陣的初等變換在電路分析中的應用 91
3.6.2 矩陣的初等變換在圖像變換中的應用 91
3.7 課後習題 92
第4章 向量組與線性方程組解的結構 95
4.1 向量的定義與運算 95
4.1.1 向量的定義 95
4.1.2 向量的運算 96
4.2 線性表示 97
4.3 線性相關與線性無關 100
4.4 最大線性無關組 102
4.5 向量空間 104
4.5.1 向量空間的定義 104
4.5.2 向量空間的基與維數 105
4.6 線性方程組解的結構 107
4.7 擴展閱讀 112
4.7.1 向量空間模型 112
4.7.2 線性網絡編碼 112
4.8 課後習題 113
第5章 矩陣的特征值與二次型 117
5.1 向量的內積、長度及正交性 117
5.1.1 n元實向量的內積 117
5.1.2 規範正交基 119
5.1.3 正交矩陣及其性質 121
5.2 矩陣的特征值與特征向量 122
5.2.1 特征值與特征向量的概念 122
5.2.2 特征值與特征向量的求法 123
5.2.3 特征值和特征向量的性質 126
5.3 相似矩陣 127
5.3.1 相似矩陣與性質 127
5.3.2 矩陣可相似對角化條件 128
5.4 對稱矩陣的對角化 132
5.4.1 實對稱矩陣特征值與特征向量的性質 132
5.4.2 實對稱矩陣的對角化 133
5.5 二次型及其標準形 136
5.5.1 二次型的概念 136
5.5.2 實二次型的標準形 137
5.6 正定二次型 141
5.6.1 慣性定理 141
5.6.2 正定二次型的定義和判定 142
5.7 擴展閱讀 144
5.7.1 特征值和特征向量的幾何意義 144
5.7.2 正定矩陣和半正定矩陣的幾何意義 145
5.8 課後習題 146
第6章 線性空間與線性變換 150
6.1 線性空間與子空間 150
6.2 基與坐標 151
6.3 線性變換 154
6.4 擴展閱讀 155
6.4.1 量子力學的向量表示 155
6.4.2 單詞的向量表示 156
6.5 課後習題 156