薛定宇教授大講堂 (捲Ⅱ)：MATLAB 微積分運算, 2/e

本書按照一般微積分學教程的方式介紹微積分問題的求解，首先介紹函數與序列的描述與圖形繪制，然後介紹極限問題的求解、導數與微分問題的求解以及積分問題的求解，並介紹函數的逼近與級數求和等方面的內容，還介紹數值導數與數值積分方面的內容，並給出積分變換、分數階微積分等的入門介紹。 本書可作為一般讀者學習微積分學的輔助教材，從另一個角度認識微積分學問題的求解方法，更好地學習微積分學相關問題的求解方法。本書還可以作為高等學校理工科各類專業的本科生和研究生學習電腦數學語言的教材或參考書或查詢某數學問題求解方法的手冊。

目　錄 

 

CONTENTS

 

第 1章微積分問題簡介1 

1.1微積分學發展簡史 1 

1.2本書的主要內容  4

第 2章函數與序列 7 

2.1函數與映射 8 

2.1.1函數的定義與描述  8 

2.1.2變量的算術運算8 

2.1.3常用超越函數的 MATLAB計算9 

2.1.4一般函數的 MATLAB表示 9 

2.1.5匿名函數表示 10 

2.1.6顯函數的圖形表示  11 

2.2不同函數的 MATLAB表示 13 

2.2.1反函數  13 

2.2.2復合函數  14 

2.2.3分段函數的描述15 

2.2.4隱函數  18 

2.2.5參數方程  22 

2.2.6極坐標函數 25 

2.3函數的性質 26 

2.3.1奇函數與偶函數26 

2.3.2函數的連續性 27 

2.3.3函數的單調性 27 

2.3.4函數的周期性 28 

2.4特殊空間圖形與坐標變換  30 

2.4.1平面 30 

2.4.2直線 32 

2.4.3橢球 33 

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2.4.4圓柱與柱面 34 

2.4.5圓錐與雙曲面 35 

2.4.6曲面的交線 36 

2.5復變函數與映射  38 

2.5.1復數矩陣及其變換  38 

2.5.2復變函數的映射38 

2.5.3 Riemann曲面的繪制  40 

2.6序列與函數項序列 43本章習題  45

第 3章函數與序列的極限  49 

3.1單變量函數的極限 50 

3.1.1單變量函數極限的 ε–δ定義 50 

3.1.2函數極限的電腦求解 52 

3.1.3復合函數的極限54 

3.1.4序列的極限 55 

3.1.5分段函數的極限56 

3.1.6無窮小量與無窮大量  57 

3.2單邊極限與函數連續性 58 

3.2.1左極限與右極限58 

3.2.2函數的連續性 60 

3.2.3區間極限運算 61 

3.2.4函數連續性的應用：方程解的判定 62 

3.3復函數的奇點、極點與留數 64 

3.3.1奇點與極點的計算  64 

3.3.2復變函數的留數65 

3.3.3有理復變函數的部分分式展開 67 

3.4多元函數的極限  69 

3.4.1累極限  69 

3.4.2重極限及其計算70 

3.4.3重極限的計算技巧  73本章習題  75

第 4章函數的導數與微分  79 

4.1函數的導數和高階導數 80 

4.1.1函數的導數與微分  80 

4.1.2函數的導數與高階導數 81 4.1.3數學歸納法與 n階導數公式證明  84 

4.1.4左導數與右導數86 

4.1.5復合函數的 1階導數  87 

4.1.6分段函數的導數88 

4.1.7矩陣的導數 89 

4.2多元函數的偏導數 90 

4.2.1偏導數  90 

4.2.2偏微分方程的驗證  92 

4.2.3全微分  93 

4.2.4多元復合函數的導數  94 

4.2.5特殊分段函數的偏導數 95 

4.3參數方程的導數  95 

4.4隱函數的偏導數  98 

4.4.1單個隱函數的 1階導數 98 

4.4.2隱函數的高階偏導數  98 

4.4.3隱函數方程組的偏導數計算100 

4.5場的梯度、散度與旋度  103 

4.5.1標量場與向量場103 

4.5.2標量場的可視化103 

4.5.3梯度、散度與旋度  104 

4.5.4方向導數  106 

4.5.5向量場的勢 108 

4.6多元函數的導數矩陣  109 

4.6.1 Jacobi矩陣 109 

4.6.2 Hesse矩陣  110 

4.6.3標量函數的 Laplace算子  110 

4.7導數與微分的應用 111 

4.7.1極值問題  111 

4.7.2 Newton–Raphson迭代方法 114 

4.7.3曲線的切線與法平面  116 

4.7.4曲面的切麵與法線  117本章習題  119

第 5章函數的積分 123 

5.1單變量函數的不定積分 124 

5.1.1不定積分的數學定義  124 

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5.1.2不定積分的計算125 

5.1.3有理函數的不定積分  128 

5.1.4矩陣的積分 130 

5.1.5與積分相關的常用特殊函數130 

5.1.6不可積問題 131 

5.2定積分與廣義積分 132 

5.2.1定積分  133 

5.2.2對積分限函數求導  136 

5.2.3廣義積分  136 

5.2.4反常積分  137 

5.3多重積分問題的 MATLAB求解  140 

5.3.1多重不定積分 140 

5.3.2待定多項式的構造  141 

5.3.3多重定積分 142 

5.3.4積分區域的處理與變換 144 

5.3.5極坐標變換 147 

5.3.6廣義重積分 149 

5.4定積分的應用  150 

5.4.1曲線弧長的計算150 

5.4.2旋轉體的體積計算  152 

5.4.3三維圖形圍成的體積與質量計算  152 

5.4.4概率密度與分佈函數  154 

5.4.5積分變換入門 155 

5.5曲線積分  155 

5.5.1第一類曲線積分155 

5.5.2第二類曲線積分158 

5.6曲面積分  160 

5.6.1第一類曲面積分160 

5.6.2第二類曲面積分162本章習題  164

第 6章級數展開與函數逼近  168 

6.1級數求和  169 

6.1.1數項級數的求和169 

6.1.2無窮級數求和計算  172 

6.1.3函數項級數的求和  174 6.1.4特殊的無窮項問題  175 

6.2無窮級數的收斂性判定 179 

6.2.1正項級數的一般描述  179 

6.2.2正項級數的收斂性判定 179 

6.2.3交替級數的收斂性判定 182 

6.2.4函數項級數的收斂區間 183 

6.3序列求積問題  184 

6.3.1數項序列的乘積184 

6.3.2函數項序列的乘積  185 

6.3.3正項序列求積的收斂性判定186 

6.4 Taylor級數展開187 

6.4.1單變量函數的 Taylor級數  187 

6.4.2中心點選擇 189 

6.4.3無窮小量的階次192 

6.4.4多元函數的 Taylor級數展開  193 

6.5 Fourier級數展開  195 

6.5.1 Fourier級數的數學描述 195 

6.5.2 Fourier級數的 MATLAB實現  196 

6.6單變量函數的有理函數近似  199 

6.6.1函數的連分式近似  199 

6.6.2函數的 Padé近似  201 

6.6.3函數的特殊多項式逼近 204 

6.7 Laurent級數展開 206 

6.7.1復變函數的 Laurent級數展開  206 

6.7.2有理函數的 Laurent級數  208 

6.7.3封閉曲線的積分210本章習題  212

第 7章數值導數與微分217 

7.1數值導數算法  218 

7.1.1前向差分與後向差分算法  218 

7.1.2 o(h2)精度中心差分算法  220 

7.1.3 o(h4)精度中心差分算法  222 

7.1.4更高精度的中心差分公式  223 

7.1.5一般高階差分公式的推導與計算  225 

7.1.6高精度前向與後向差分算法228 

. x .薛定宇教授大講堂（捲 II）：MATLAB微積分運算（第 2版） 

7.2數值導數計算的 MATLAB實現  230 

7.2.1 2階精度算法的實現 230 

7.2.2 7點中心算法的實現 232 

7.2.3前向差分數值導數算法的實現 234 

 

7.3已知樣本點的任意階數值導數的求解函數 235 

7.4二元函數的偏導數計算 237 

7.4.1梯度計算  237 

7.4.2針對單變量的高精度偏導數算法  239 

7.4.3混合偏導數的數值計算 241 

7.4.4高階混合偏導數的數值計算242 

7.5樣條插值與數值導數計算  243 

7.5.1三次樣條  244 

7.5.2 B樣條  247 

7.5.3基於樣條的數值導數計算  249 

7.5.4不等間距樣本散點的數值偏導數計算  251本章習題  254

第 8章數值積分  256 

8.1由給定樣本點求數值積分  257 

8.1.1定積分的直接計算  257 

8.1.2積分函數的重建260 

 

8.1.3等間距樣本點的高精度數值積分方法  261 

8.2單變量數值積分問題求解  263 

8.2.1簡單數值積分問題  264 

8.2.2數值積分問題的 MATLAB求解265 

8.2.3廣義積分的數值計算  269 

8.2.4含參數函數的數值積分 271 

8.2.5積分函數的數值求解  272 

8.3雙重積分問題的數值解 273 

8.3.1雙重定積分的計算  274 

8.3.2雙重積分曲面的計算  275 

8.3.3不同積分順序的雙重積分計算方法 276 

8.4多重積分數值求解 277 

8.4.1三重定積分的數值求解 277 

8.4.2含參數函數的三重積分 279 

8.4.3基於 NIT的多重積分數值求解 280 

 

8.4.4某些變邊界多重積分問題的數值求解方法 281 

8.4.5函數邊界的多重積分  282 

8.5數值積分的其他計算方法  284 

8.5.1基於 Monte Carlo方法的數值積分近似 284 

8.5.2基於樣條插值的數值積分  286 

8.5.3多重積分的數值計算  288本章習題  289

第 9章積分變換  292 

9.1 Laplace變換及其反變換  293 

9.1.1 Laplace變換及反變換的定義與性質  293 

9.1.2函數的捲積 294 

9.1.3 Laplace變換的電腦求解 295 

9.1.4有理函數的 Laplace反變換 298 

9.1.5用 Laplace變換求解微分方程 300 

9.2 Laplace變換問題的數值求解 302 

9.2.1數值 Laplace反變換 302 

9.2.2閉環系統響應的思想  303 

9.2.3數值 Laplace變換 303 

9.2.4無理系統的響應計算  307 

9.3 Fourier變換及其反變換307 

9.3.1 Fourier變換及反變換定義與性質 308 

9.3.2 Fourier變換的電腦求解  308 

9.3.3 Fourier正弦、餘弦變換  310 

9.3.4離散 Fourier正弦、餘弦變換 312 

9.3.5快速 Fourier變換  313 

9.4其他積分變換問題及求解  314 

9.4.1 Mellin變換 315 

9.4.2 Hankel變換及求解 317 

9.5 z變換及其反變換  318 

9.5.1 z變換及反變換的定義與性質  318 

9.5.2 z變換的電腦求解319 

9.5.3雙邊 z變換  320 

9.5.4有理函數 z反變換的數值求解  321本章習題  322 

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第 10章分數階微積分 326 

10.1分數階微積分的定義  327 

10.1.1為什麽要引入分數階微積分的概念  327 

10.1.2分數階微積分的定義 328 

 

10.1.3不同分數階微積分定義的關系與性質329 

10.2 Grünwald–Letnikov定義的數值實現  331 

10.2.1 Grünwald–Letnikov定義 331 

10.2.2高精度算法與實現  332 

10.2.3不同精度算法的定量比較 337 

 

10.2.4 Riemann–Liouville微積分的解析運算  339 

10.3 Caputo微積分定義的數值計算  340 

10.3.1 Caputo導數的高精度計算  340 

10.3.2 Caputo導數的解析運算  343 

10.4 Oustaloup濾波算法及其應用 344 

10.4.1 Oustaloup濾波器近似  344 

10.4.2 Caputo導數的濾波器近似  346 

 

10.4.3基於 Simulink的 Caputo導數計算  347 

10.5更高階導數與積分的數值計算349

本章習題  351

參考文獻 352 

MATLAB函數名索引 355

術語索引 360