高等數學（上冊）

目錄

 

 

 

第一章極限與連續

第一節函數

一、 函數的概念

二、 函數的幾種特性

三、 函數的運算

四、 初等函數

第二節極限的概念

一、 數列極限的定義

二、 函數極限的定義

三、 數列極限與函數極限的關系

第三節極限的性質及運算法則

一、 極限的基本性質

二、 極限的運算法則

第四節極限存在準則

一、 兩邊夾準則（夾逼準則）

二、 單調有界準則

*三、 柯西收斂準則

第五節無窮小量與無窮大量

一、 無窮小量的概念及性質

二、 無窮小量階的比較

三、 無窮大量

第六節函數的連續性

一、 函數連續性的概念

二、 函數的間斷點

第七節連續函數的運算與初等函數的連續性

一、 連續函數的運算

二、 初等函數的連續性

第八節閉區間上連續函數的性質

一、 最值性與有界性

二、 零點定理與介值性

*三、 一致連續性

第九節工程應用舉例

數學發現的一般方法（一）——觀察與實驗

第二章導數與微分

第一節導數的概念

一、 導數的定義

二、 導數的幾何意義

三、 函數可導性與連續性的關系

第二節函數的求導法則

一、 函數四則運算後的求導法則

二、 反函數的求導法則

三、 復合函數的求導法則

四、 初等函數的導數

第三節高階導數

一、 高階導數的定義

二、 高階導數的運算法則

第四節隱函數的導數

一、 由直角坐標方程確定的函數的導數

二、 由參數方程確定的函數的導數

三、 由極坐標方程確定的函數的導數

第五節函數的微分

一、 微分的定義

二、 微分運算法則與高階微分

三、 微分的應用

第六節工程應用舉例

數學發現的一般方法（二）——歸納與猜想

第三章微分中值定理與導數的應用

第一節微分中值定理

一、 羅爾定理

二、 拉格朗日中值定理

三、 柯西中值定理

第二節洛必達法則

一、 0/0型不定式

二、 ∞/∞型不定式

三、 其他類型的不定式

第三節泰勒公式

第四節函數單調性的判定

第五節曲線的凹凸性

第六節函數的極值

第七節函數最值的求法

第八節函數的圖形

一、 曲線的漸近線

二、 函數圖形的描繪

第九節曲線的曲率

一、 弧微分

二、 曲率及其計算公式

三、 曲率圓與曲率半徑

第十節工程應用舉例

數學發現的一般方法（三）——類比與聯想

第四章不定積分

第一節不定積分的概念與性質

一、 原函數與不定積分的概念

二、 基本積分公式

三、 不定積分的性質

第二節不定積分的換元積分法

一、 第一類換元法(湊微分法)

二、 第二類換元法

第三節不定積分的分部積分法

第四節幾類特殊函數的不定積分

一、 有理函數的不定積分

二、 三角有理函數的不定積分

三、 某些無理函數的不定積分

第五節工程應用舉例

數學發現的一般方法（四）——抽象與概括

第五章定積分

第一節定積分的概念

一、 定積分的定義

二、 定積分的幾何意義

第二節定積分的性質

第三節微積分基本公式

一、 積分上限的函數及其導數

二、 牛頓萊布尼茨公式

第四節定積分的換元法

第五節定積分的分部積分法

第六節定積分的幾何應用

一、 定積分的元素法

二、 平面圖形的面積

三、 立體的體積

四、 平面曲線的弧長

第七節定積分的物理應用

一、 變力沿直線做功

二、 水壓力

三、 引力

第八節廣義積分

一、 無窮區間上的廣義積分

二、 無界函數的廣義積分

第九節工程應用舉例

數學思維（一）——邏輯思維與非邏輯思維

第六章微分方程

第一節微分方程的基本概念

第二節可分離變量的微分方程

第三節齊次方程

—、 齊次函數與齊次方程

*二、 可齊次化的方程

第四節一階線性微分方程

一、 一階線性方程

二、 伯努利方程

三、 變量替換法的靈活運用

第五節可降階的高階微分方程

一、 y(n)=f(x)型的微分方程

二、 y″=f(x,y′)型的微分方程

三、 y″=f(y,y′)型的微分方程

第六節高階線性微分方程

一、 二階齊次線性方程的通解

二、 二階非齊次線性方程的通解

*三、 二階非齊次線性方程的常數變易法

*四、 降階法

第七節二階常系數齊次線性微分方程

第八節二階常系數非齊次線性微分方程

*第九節歐拉方程

第十節工程應用舉例

數學思維（二）——收斂思維與發散思維

習題答案與提示

參考文獻