計算方法（Python版）

目錄

第 1章緒論 ........................................................................................................1 

1.1計算方法 ..................................................................................................1 

1.2誤差與有關概念 ........................................................................................1 

1.2.1誤差來源 .......................................................................................1 

1.2.2誤差的基本概念 .............................................................................3 

1.2.3數值運算的誤差估計.......................................................................7 

1.3數值計算中應註意的幾個問題 ....................................................................9 習題一 ...........................................................................................................14

第 2章非線性方程的數值解法............................................................................15 

2.1引言.......................................................................................................15 

2.2逐步搜索法.............................................................................................16 

2.3二分法 ...................................................................................................16 

2.3.1基本思想 .....................................................................................16 

2.3.2誤差估計 .....................................................................................17 

2.4不動點疊代法 .........................................................................................19 

2.4.1引例 ............................................................................................19 

2.4.2基本思想 .....................................................................................19 

2.4.3疊代法的收斂性及收斂速度...........................................................22 

2.4.4疊代法的加速收斂 ........................................................................26 

2.5牛頓（Newton）法 .................................................................................29 

2.5.1牛頓法的構造...............................................................................29 

2.5.2牛頓法的幾何意義 ........................................................................30 

2.5.3牛頓法的局部收斂性.....................................................................30 

2.6割線法 ...................................................................................................32 習題二 ...........................................................................................................34

第 3章線性方程組的數值解法............................................................................35 

3.1引言.......................................................................................................35 

3.2解線性方程組的直接法 ............................................................................36 

3.2.1高斯消去法 ..................................................................................36 

3.2.2高斯主元消去法 ...........................................................................43 

3.2.3矩陣分解法 ..................................................................................52 

計算方法 (Python版) 

3.3向量和矩陣的範數...................................................................................63 

3.3.1向量範數 .....................................................................................63 

3.3.2矩陣範數 .....................................................................................67 

3.4方程組的性態分析和矩陣條件數...............................................................70 

3.5解線性方程組的疊代法 ............................................................................73 

3.5.1基本思想 .....................................................................................73 

3.5.2雅克比疊代法...............................................................................75 

3.5.3高斯-塞德爾疊代法.......................................................................77 

3.5.4逐次超松弛疊代法 ........................................................................79 

3.5.5疊代法的收斂性 ...........................................................................81 習題三 ...........................................................................................................89

第 4章插值與擬合 ............................................................................................91 

4.1引言.......................................................................................................91 

4.2代數插值 ................................................................................................91 

4.2.1拉格朗日插值...............................................................................93 

4.2.2牛頓插值 ................................................................................... 100 

4.2.3差分與等距節點插值公式 ............................................................ 108 

4.2.4分段線性插值............................................................................. 114 

4.3三次樣條插值 ....................................................................................... 118 

4.4曲線擬合的最小二乘法 .......................................................................... 126 

4.4.1問題的提出 ................................................................................ 126 

4.4.2最小二乘原理............................................................................. 127 

4.4.3線性擬合 ................................................................................... 130 

4.4.4多項式擬合 ................................................................................ 134 習題四 ......................................................................................................... 137

第 5章數值積分與數值微分 ............................................................................. 140 

5.1引言..................................................................................................... 140 

5.1.1數值積分的基本思想................................................................... 140 

5.1.2求積公式的代數精度................................................................... 143 

5.2插值型求積公式 .................................................................................... 148 

5.3牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）求積公式 ................................................. 151 

5.3.1柯特斯系數 ................................................................................ 152 

5.3.2牛頓-柯特斯公式的代數精度 ....................................................... 157 

5.3.3牛頓-柯特斯公式的截斷誤差 ....................................................... 158 

5.3.4牛頓-柯特斯公式的穩定性........................................................... 161 

目錄 

5.4復化求積公式 ....................................................................................... 162 

5.4.1復化求積公式的推導................................................................... 162 

5.4.2復化求積公式的截斷誤差 ............................................................ 165 

5.4.3變步長復化求積方法................................................................... 168 

5.5龍貝格積分法 ....................................................................................... 171 

5.6高斯求積公式 ....................................................................................... 175 

5.6.1高斯積分問題的提出................................................................... 175 

5.6.2高斯求積公式概述 ...................................................................... 175 

5.7數值微分 .............................................................................................. 178 

5.7.1差商與數值微分 ......................................................................... 178 

5.7.2插值型求導公式 ......................................................................... 180 習題五 ......................................................................................................... 182

第 6章常微分方程初值問題的數值解法 ............................................................ 184 

6.1引言..................................................................................................... 184 

6.2歐拉法及其改進方法 ............................................................................. 185 

6.2.1歐拉法....................................................................................... 185 

6.2.2後退歐拉法 ................................................................................ 191 

6.2.3梯形法....................................................................................... 193 

6.2.4歐拉預測校正法 ......................................................................... 194 

6.3龍格-庫塔法 ......................................................................................... 197 

6.3.1基本思想 ................................................................................... 197 

6.3.2幾種常用的 R-K公式 ................................................................. 198 

6.4阿當姆斯法........................................................................................... 201 

6.4.1基本思想 ................................................................................... 201 

6.4.2阿當姆斯顯式公式 ...................................................................... 202 

6.4.3阿當姆斯隱式公式 ...................................................................... 203 

6.4.4阿當姆斯預測校正系統 ............................................................... 204 習題六 ......................................................................................................... 205

附錄 A典型算法的 Python代碼 ..................................................................... 207

附錄 B參考數學基礎知識................................................................................. 246

參考文獻 ............................................................................................................ 250