數學物理方法——使用MATLAB建模與仿真（第2版）

李月娥,2004年畢業於蘭州大學無線電物理專業後留校工作，主講本科生課程：數學物理方法，電磁場理論。2018年，電磁場理論課程教學團隊獲得省級教學團隊；2018年，獲第五屆蘭州大學“我最喜愛的十大教師”稱號；2018年，榮獲蘭州大學優秀創新創業指導教師。近5年參與編著教育部電子信息類規劃教材《電磁場與電磁波》1部，《Matlab在電磁場與微波技術中的應用》專著一部。主要研究方向包括微納光電信息材料與器件、智能光電傳感等，主持並參與國家自然青年科學基金、甘肅省自然科學基金項目多項課題。

 

目錄

第一篇復變函數論

 

第1章復變函數與解析函數

 

1.1復數及其基本運算(complex numbers and operations)

 

1.1.1復數的基本概念(concepts of complex numbers)

 

1.1.2復數的表示方法(algebraic and geometric structure of complex numbers)

 

1.1.3復數的基本運算(operation of complex numbers)

 

1.1.4基於MATLAB的復數運算(complex number operations based on MATLAB)

 

1.2復變函數(complex variable functions)

 

1.2.1復變函數的概念(concepts and properties of complex variable function)

 

1.2.2區域的相關概念(concepts of domain)

 

1.2.3復變函數的極限和連續(limit and continuity of complex variable function)

 

1.3導數及解析函數(derivative and analytic function)

 

1.3.1導數(derivative)

 

1.3.2函數可導的充分必要條件(sufficient conditions for derivability)

 

1.3.3解析函數(analytic function)

 

1.3.4初等解析函數及性質(elementary analytic function and properties)

 

1.3.5運用MATLAB工具使復變函數可視化(visualization of complex function 

based on MATLAB)

 

1.4解析函數的應用(application of analytic function)

 

1.4.1解析函數在平面靜電場中的應用(application of analytic function in the 

plane electrostatic field)

 

1.4.2保角變換及其幾何解釋(conformal mapping and its geometric interpretations)

 

1.4.3解析函數在系統穩態響應問題求解中的應用(application of analytic 

function in oscillation system)

 

第1章習題

 

第2章解析函數積分

 

2.1復變函數的積分(integral of complex variable function)

 

2.1.1復變函數積分的基本概念(concepts of complex integral)

 

2.1.2復變函數積分的性質(properties of complex integral)

 

2.1.3復變函數積分實例(examples of complex integral)

 

2.2柯西定理(Cauchy theorem)

 

2.2.1單連通區域情形的柯西定理(Cauchy theorem in simply connected domains)

 

2.2.2不定積分和原函數(indefinite integral and antiderivative)

 

2.2.3復連通區域的柯西定理(Cauchy theorem in multiply connected domains)

 

2.2.4復變函數積分的MATLAB運算(calculation of complex integral 

based on MATLAB)

 

2.3柯西公式及推論(Cauchy formula and extension)

 

2.3.1單連通區域的柯西積分公式(Cauchy formula in simply connected domain)

 

2.3.2復連通區域的柯西積分公式(Cauchy formula in multiply connected domain)

 

2.3.3無界區域中的柯西積分公式(Cauchy formula for unbounded domain)

 

2.3.4柯西公式推論(extension of Cauchy formula)

 

2.4柯西定理及柯西公式應用實例(application examples of Cauchy theorem 

and Cauchy formula)

 

第2章習題

 

第3章復變函數級數

 

3.1復數項級數(complex number series)

 

3.1.1復數項級數的概念(concepts of complex number series)

 

3.1.2復數項級數的性質(properties of complex number series)

 

3.1.3復變函數項級數(series of complex functions)

 

3.2冪級數(power series)

 

3.2.1冪級數概念(concepts of power series)

 

3.2.2收斂半徑與收斂圓(radius of convergence and circle of convergence)

 

3.2.3冪級數的性質(properties of power series)

 

3.3泰勒級數(Taylor series)

 

3.3.1解析函數的泰勒展開式(Taylor expansion of analytic function)

 

3.3.2泰勒級數的收斂半徑(radius of convergence of Taylor series)

 

3.3.3將函數展開成泰勒級數的實例(examples of Taylor series expansion)

 

3.4洛朗級數(Laurent series)

 

3.4.1洛朗級數定義(definition of Laurent series)

 

3.4.2洛朗級數的收斂性(convergence of Laurent series)

 

3.4.3洛朗級數展開實例(examples of Laurent series expansion)

 

3.5單值函數的孤立奇點(isolated singular points of singlevalued functions)

 

3.6基於MATLAB的冪級數展開(power series expansion based on MATLAB)

 

第3章習題

 

第4章留數定理及其應用

 

4.1留數定理(residue theorem)

 

4.1.1閉合回路積分與留數的關系(loop integral and residue)

 

4.1.2留數的計算(calculation of residue)

 

4.1.3基於MATLAB的留數計算(residue calculation based on MATLAB)

 

4.2利用留數定理計算實積分(application of residue theorem for calculation of real integral)

 

4.2.1類型Ⅰ實積分計算(type Ⅰ real integral)

 

4.2.2類型Ⅱ實積分計算(type Ⅱ real integral)

 

4.2.3類型Ⅲ實積分計算(type Ⅲ  real integral)

 

4.3其他類型的實積分計算(calculation of other real integral)

 

4.4基於MATLAB的回路積分計算(loop integral calculation based on MATLAB)

 

第4章習題

 

第二篇數學物理方程及求解方法

 

第5章傅裏葉級數

 

5.1周期函數的傅裏葉展開(Fourier expansion of periodic function)

 

5.1.1傅裏葉級數的定義(definition of Fourier series)

 

5.1.2傅裏葉級數的實際意義(practical meaning of Fourier series)

 

5.1.3傅裏葉級數的收斂性(convergence of Fourier series)

 

5.2奇函數及偶函數的傅裏葉展開(Fourier expansion of odd and even function)

 

5.3定義在有界區間上函數的傅裏葉展開(Fourier expansion of functions 

defined on an interval)

 

5.4復數形式的傅裏葉級數(Fourier series in complex form)

 

5.5使用MATLAB完成傅裏葉級數的可視化(visualization of Fourier series based 

on MATLAB)

 

第5章習題

 

第6章數學建模——數學物理定解問題

 

6.1基本概念(basic concepts)

 

6.2典型的數理方程(typical mathematical physics equation)

 

6.2.1波動方程(wave equation)

 

6.2.2熱傳導方程(heatconduction equation)

 

6.2.3泊松方程(Poisson equation)

 

6.3定解條件(definite solution condition)

 

6.3.1初始條件(initial condition)

 

6.3.2邊界條件(boundary condition)

 

6.3.3數學物理定解問題的適定性(wellposed problems in mathematical physics)

 

6.4二階線性偏微分方程的分類和特征(classification and characteristics of 

secondorder linear partial differential equations)

 

6.4.1二階線性偏微分方程的分類(classification of secondorder linear 

partial differential equations)

 

6.4.2二階線性偏微分方程解的特征(characteristics of solutions of secondorder 

linear partial differential equations)

 

6.5行波法與達朗貝爾公式(traveling wave method and DAlembert formula)

 

6.5.1一維波動方程的達朗貝爾公式(DAlembert formula for one 

dimensional wave equation)

 

6.5.2達朗貝爾公式的物理意義(physical meaning of DAlembert formula)

 

6.5.3達朗貝爾公式應用的MATLAB實現(application of DAlembert 

formula based on MATLAB)

 

第6章習題

 

第7章分離變量法

 

7.1分離變量法的理論(theory of variable separation)

 

7.1.1分離變量法簡介(introduction of variable separation method)

 

7.1.2偏微分方程可實施變量分離的條件(conditions for variable 

separation of PDEs)

 

7.1.3邊界條件可實施變量分離的條件(conditions for variable separation 

of boundary conditions)

 

7.2直角坐標系中的分離變量法(variable separation method in rectangular 

coordinate system)

 

7.2.1分離變量法的求解步驟(steps of variable separation method)

 

7.2.2解的物理意義(physical meaning of solution)

 

7.2.3三維情況下的直角坐標分離變量(variable separation for 3D problem 

in rectangular coordinate)

 

7.3非齊次邊界條件齊次化(homogenization of nonhomogeneous boundary conditions)

 

7.3.1非齊次邊界條件齊次化的一般方法(general method)

 

7.3.2非齊次邊界條件齊次化的特殊方法(special method)

 

7.4非齊次方程 (inhomogeneous equation)

 

7.5泊松方程(Poisson equation)

 

7.6基於MATLAB的數學物理方程數值求解（numerical solution of mathematical 

physics equation using MATLAB）

 

7.6.1有限元法介紹（introduction of the finite element method）

 

7.6.2MATLAB PDE工具箱(MATLAB PDE toolbox)

 

第7章習題

 

第8章二階常微分方程的級數解法和本征值問題

 

8.1柱坐標系和球坐標系下的分離變量法(variable separation in spherical and 

cylindrical coordinate system)

 

8.1.1三種常用的正交坐標系(three types of coordinates)

 

8.1.2拉普拉斯方程的分離變量(Laplace equation)

 

8.1.3三維波動方程的分離變量(3D wave equation)

 

8.1.4三維輸運方程/熱傳導方程的分離變量(3D transport equation/

heatconduct equation)

 

8.1.5亥姆霍茲方程的分離變量(Helmholtz equation)

 

8.2常點鄰域的級數解法(power series solution around ordinary points)

 

8.3施圖姆劉維爾本征值問題(SturmLiouville eigenvalue problem)

 

8.3.1施圖姆劉維爾型方程及本征值問題(SturmLiouville equation and 

eigenvalue problem)

 

8.3.2施圖姆劉維爾本征值問題的性質及廣義傅裏葉級數(characteristics of 

SturmLiouville eigenvalue problem and generalized Fourier series)

 

第8章習題

 

第9章特殊函數

 

9.1勒讓德多項式(Legendre polynomials)

 

9.1.1勒讓德方程及其級數解(Legendre equation and power series solution)

 

9.1.2本征值問題(eigenvalue problem)

 

9.1.3勒讓德多項式的表達式(the expression of Legendre polynomials)

 

9.1.4勒讓德多項式的性質(characteristics of Legendre polynomials)

 

9.1.5勒讓德多項式的MATLAB可視化(visualization of Legendre polynomials 

based on MATLAB)

 

9.1.6廣義傅裏葉級數(generalized Fourier series)

 

9.1.7軸對稱定解問題(axisymmetric problems in spherical coordinate)

 

9.1.8勒讓德多項式的生成函數(generating function of Legendre polynomial)

 

9.1.9勒讓德多項式的遞推公式(recurrence formula of Legendre polynomials)

 

9.2貝塞爾函數(Bessel function)

 

9.2.1三類柱函數(three types of cylindrical functions)

 

9.2.2貝塞爾函數和諾伊曼函數的MATLAB可視化(visualization of Bessel 

function and Neumann function based on MATLAB)

 

9.2.3貝塞爾函數的性質(characteristics of Bessel functions)

 

9.2.4貝塞爾方程本征值問題(Bessel equation eigenvalue problem)

 

9.2.5傅裏葉貝塞爾級數(FourierBessel series)

 

9.3虛宗量貝塞爾函數(Bessel function of imaginary argument)

 

9.3.1虛宗量貝塞爾方程的解(solution of modified Bessel equation)

 

9.3.2虛宗量貝塞爾函數和虛宗量漢克爾函數的MATLAB可視化(visualization of 

modified Bessel function and modified Hankel function based on MATLAB)

 

9.3.3虛宗量貝塞爾函數和虛宗量漢克爾函數的性質(characteristics of modified 

Bessel function and modified Hankel function)

 

9.4特殊函數的應用實例(application examples of special functions)

 

9.4.1拉普拉斯方程定解問題(Laplace equation problems)

 

9.4.2階躍光纖的分析(analysis of step optical fibre)

 

9.4.3表面等離激元(plasmonics)

 

第9章習題

 

第10章數理方程的其他方法

 

10.1保角變換法(conformal mapping)

 

10.1.1常用的保角變換函數(analytic functions for conformal mapping)

 

10.1.2應用舉例(examples)

 

10.2有限差分法(finite difference method)

 

10.2.1差分的基本概念(concepts)

 

10.2.2二維拉普拉斯方程的差分方程(difference equation of  2D Laplace equation)

 

10.2.3邊界上的差分方程(difference equation on boundary grids)

 

10.2.4二維靜態電磁場差分方程的疊代法求解(iterative method solution for 

2D static electromagnetic field difference equation)

 

10.2.5曲線邊界的處理（processing of curved boundary）

 

10.3有限元法(finite element method)

 

10.3.1有限元法的基本原理(principle of FEM)

 

10.3.2有限元法求解案例(examples)

 

第10章習題

 

第三篇線性空間與線性算子

 

第11章向量和向量空間

 

11.1向量的概念（concepts of vectors）

 

11.1.1向量的表示方法（vector representation）

 

11.1.2向量的加減和數乘（addition and scalar multiplication of vectors）

 

11.1.3向量的標量積和向量積（scalar product and vector product）

 

11.2向量空間（vector space）

 

11.2.1向量空間的定義（definition of vector space）

 

11.2.2線性組合與線性無關（linear combination and linear independence）

 

11.2.3笛卡兒坐標系（Cartesian coordinate system）

 

11.2.4子空間（subspace）

 

11.3向量空間的基和維數（basis and dimension of vector space）

 

11.3.1向量空間的基(basis of vector space)

 

11.3.2向量空間的維數（dimension of vector space）

 

*11.4MATLAB可視化向量場和標量場（visualization of vector and scalar 

fields using MATLAB）

 

11.4.1二維標量函數及其等值線（twodimensional scalar function and contours）

 

11.4.2二維標量函數的梯度及其箭頭圖（gradient of a 2D scalar 

function and arrow plots）

 

11.4.3曲面的法向量及其箭頭圖（normal vector of a surface and arrow plots）

 

第11章習題

 

第12章向量分析

 

12.1R3空間的向量代數（vector algebra in R3 space）

 

12.1.1向量的加法和數乘（addition and scalar multiplication of vectors）

 

12.1.2向量的標量積（scalar product of vectors）

 

12.1.3向量的向量積（vector product of vectors）

 

12.1.4向量的混合積（mixed product of vectors）

 

12.2柱坐標系和球坐標系（cylindrical coordinate system and spherical coordinate system）

 

12.2.1坐標變量和基本單位向量（coordinate variables and base unit vectors）

 

12.2.2三種坐標系中坐標變量之間的關系（the relationship between coordinate 

variables in different coordinate systems）

 

12.2.3基本單位向量之間的變換——單位圓法（conversion between basic 

unit vectors： unit circle method）

 

12.2.4三種常用坐標系中的線元、面元和體元（line element,area element 

and volume element in three common coordinate systems）

 

12.3R3空間的向量分析（vector analysis in R3 space）

 

12.3.1標量函數的梯度（the gradient of a scalar function）

 

12.3.2向量函數的散度（the divergence of the vector function）

 

12.3.3向量函數的旋度（the curl of the vector function）

 

12.3.4標量函數的拉普拉斯運算（Laplacian of the scalar function）

 

12.4向量積分定理（vector integral theorem）

 

12.4.1高斯散度定理（Gauss theorem）

 

12.4.2斯托克斯定理（Stokes theorem）

 

12.4.3格林定理（Greens theorem）

 

12.5向量分析的應用實例——梯度下降法的MATLAB編程（example of 

vector analysis： gradient descent method）

 

12.6向量分析的重要公式（important formulas）

 

第12章習題

 

第13章線性空間和線性算符

 

13.1線性空間的內積（inner product in linear space）

 

13.1.1內積空間（inner product space）

 

13.1.2點積和歐幾裏得空間（dot product and Euclidean space）

 

13.1.3施密特正交歸一化（Schmidt orthonormalization）

 

13.1.4正交歸一基的完備性（completeness of orthonormalized basis）

 

13.2希爾伯特空間（Hilbert space）

 

13.3線性算符（linear operator）

 

13.3.1線性算符的定義（definition of linear operator）

 

13.3.2常用的線性算符（commonly used linear operator）

 

13.3.3線性算符的本征值和本征向量（eigenvalues and 

eigenvectors of linear operators）

 

13.4線性算符的應用實例——MATLAB編程（application examples of 

linear operator： MATLAB programming）

 

13.4.1動力系統微分方程（Differential equations of dynamical systems）

 

13.4.2馬爾可夫鏈（Markov chain）

 

第13章習題

 

附錄A

 

習題答案

 

參考文獻