概率論與數理統計

黃煜可，女，四川成都人。清華大學本碩博，北京市優秀畢業生(博士)，北京航空航天大學博士後。現為北京郵電大學理學院副教授，碩士生導師。主持國家自然科學基金青年基金項目1項，參加國家自然科學基金面上項目2項。在Theor. Comput. Sci等專業**期刊發表學術論文多篇，出版學術專著1本。多年來主講《概率論與數理統計》及相關課程，獲省部級教學獎1項(主講教師)，“小可老師的數學教室”系列微課程主講人。

目錄

第1章隨機事件及其概率

1.1隨機事件、事件的關系與運算

1.1.1隨機事件

1.1.2事件的關系與運算

1.2什麼是概率？概率的公理化定義

1.2.1等可能概型：  概率的古典定義和幾何定義

1.2.2概率的頻率定義

1.2.3概率的公理化定義

1.2.4可列無限、不可列無限［選學］

1.3概率的運算及基本性質

1.3.1概率基本性質的證明［選學］

1.3.2典型題

1.3.3用隨機事件表示生活中的隨機現象

1.4條件概率的定義及三個計算公式

1.4.1條件概率的定義

1.4.2條件概率的基本性質

1.4.3條件概率的三個計算公式

1.4.4典型題

1.5隨機事件的獨立性

1.5.1幾對容易混淆的概念

1.5.2典型題

1.6條件概率與獨立性的綜合練習

1.7常用的排列組合結論［選學］

習題

拓展閱讀：  全概率公式與貝葉斯公式的應用

第2章概率論的概念及方法：  基礎篇

2.1一維隨機變量的定義

2.1.1隨機變量定義的進一步講解［選學］

2.1.2一維隨機變量的兩類研究方法

2.2一維隨機變量的分布

2.2.1隨機變量的分類［選學］

2.2.2一維隨機變量分布法的研究工具的引入［選學］

2.2.3分布律

2.2.4分布函數

2.2.5概率密度函數

2.2.6判定分布函數的充要條件［選學］

2.2.7判定分布律與概率密度的充要條件［選學］

2.2.8運用分布函數、分布律、概率密度計算與隨機變量相聯系的事件的概率

2.2.9小結：  一維隨機變量分布法的主要研究工具

2.3一維隨機變量函數的分布

2.4一維隨機變量及其函數的數字特征

2.4.1一維隨機變量的數學期望

2.4.2一維隨機變量函數的數學期望

2.4.3一維隨機變量的方差

2.4.4一維隨機變量函數的方差

2.5多維隨機變量的定義

2.5.1二維隨機變量的分類

2.5.2多維隨機變量的兩類研究方法

2.6多維隨機變量的分布

2.6.1多維隨機變量的分布一：  聯合**

2.6.2多維隨機變量的分布二：  邊緣**

2.6.3多維隨機變量的分布三：  條件**

2.6.4多維隨機變量的獨立性

2.6.5小結：  多維隨機變量分布法的主要研究工具與獨立性

2.7多維隨機變量函數的分布

2.8多維隨機變量及其函數的數字特征和相關性

2.8.1協方差、相關系數、相關性

2.8.2相關性與獨立性

2.8.3其他數字特征［選學］

2.8.4數字特征的常用性質

2.8.5計算數學期望E(X)的常用方法

習題

拓展閱讀：  概率論發展簡史

第3章常見分布

3.1離散分布

3.1.1專題：  獨立重復試驗、伯努利試驗

3.1.2兩點分布

3.1.3二項分布

3.1.4泊松分布

3.1.5幾何分布

3.1.6二項分布、泊松分布、幾何分布的數字特征計算［選學］

3.1.7負二項分布［選學］

3.1.8超幾何分布

3.2連續分布

3.2.1均勻分布

3.2.2二維均勻分布

3.2.3指數分布

3.2.4專題：  最值函數M=max{X,Y}和N=min{X,Y}

3.2.5伽馬分布［選學］

3.2.6正態分布

3.2.7專題：  上側α分位數

3.2.8二維正態分布

3.2.9小結

3.3統計學三大分布

3.3.1χ2分布

3.3.2t分布

3.3.3F分布

3.3.4典型題

3.3.5解題思路：  怎樣研究統計量及其分布？

3.3.6小結

習題

拓展閱讀：  泊松過程與常見分布

第4章概率論的概念及方法： 提高篇

4.1經驗分布函數［選學］

4.2專題： 概率密度f(x)具有對稱性

4.3一維隨機變量函數的分布： 按X和Y的類型分情況討論

4.3.1X離散型、Y離散型  

4.3.2X連續型、Y離散型

4.3.3X連續型、Y連續型

4.4好用的積分技巧： 伽馬函數［選學］

4.4.1伽馬函數的定義和性質

4.4.2運用伽馬函數化簡積分計算

4.5二維隨機變量(X,Y)及其函數的分布： 按X和Y的類型分情況討論

4.5.1命題規律： 二維隨機變量怎麼考？

4.5.2X離散型、Y離散型

4.5.3X連續型、Y離散型

4.5.4X連續型、Y連續型

4.6好用的積分技巧： 極坐標［選學］

4.6.1運用極坐標計算二重積分

4.6.2運用極坐標化簡積分計算

4.7多維隨機變量函數的分布： 按函數類型分情況討論

4.7.1兩個隨機變量四則運算的計算公式

4.7.2最值函數M=max{X,Y}和N=min{X,Y}

4.8小結： 隨機變量及其函數的分布和數字特征

4.8.1題目只需要求解隨機變量及其函數的數字特征的情形

4.8.2題目需要求解隨機變量及其函數的分布的情形

4.9重期望公式［選學］ 

4.10隨機個隨機變量的和［選學］

習題

拓展閱讀： 概率論的應用

第5章大數定律和中心極限定理

5.1極限理論

5.2切比雪夫不等式

5.3大數定律

5.3.1依概率收斂

5.3.2大數定律的本質

5.3.3三個常用的大數定律

5.3.4弱大數定律和強大數定律［選學］

5.3.5運用切比雪夫不等式證明辛欽大數定律［選學］

5.4中心極限定理

5.4.1中心極限定理的本質

5.4.2三個常用的中心極限定理

5.4.3常用中心極限定理的嚴謹表述［選學］

5.4.4解題思路及典型題

5.4.5公理、定理、定律［選學］

5.5計算隨機變量的和函數∑ni=1Xi的方法

5.5.1當n足夠大時

5.5.2當n不太大時

5.6特征函數［選學］

5.6.1特征函數的定義

5.6.2特征函數的部分性質

5.6.3常見分布的特征函數

5.6.4運用特征函數證明獨立同分布下的中心極限定理

習題

拓展閱讀： 極限理論發展簡史

第6章數理統計的概念及知識體系

6.1數理統計的知識點重構

6.2數理統計的基本概念

6.3常用統計量一： 樣本均值

6.4常用統計量二： 樣本方差

6.5小結

6.6數據可視化： 箱線圖［選學］

6.6.1次序統計量

6.6.2樣本分位數

6.6.3五數概括

6.6.4箱線圖

6.6.5包含異常值的箱線圖

習題

拓展閱讀： 數理統計發展簡史

第7章點估計

7.1參數估計概述

7.1.1點估計和區間估計的區別

7.1.2矩估計法和最大似然估計法的區別

7.2矩估計法的解題思路

7.3最大似然估計法的解題思路

7.4點估計的典型題

7.5常見分布的矩估計量和最大似然估計量

7.6估計量的評選標準

7.7小題大做： 串聯並聯電路

習題

拓展閱讀： 數理統計的應用——德國坦克問題

第8章區間估計和假設檢驗

8.1概述

8.1.1使用樞軸量法進行區間估計的解題思路

8.1.2區間估計和假設檢驗的核心公式

8.1.3本章的講解思路

8.2區間估計

8.2.1比較： 點估計和區間估計

8.2.2概念： 置信區間、置信下限、置信上限

8.2.3精度和可靠度

8.2.4樞軸量的誕生

8.2.5正態總體的常用抽樣分布

8.2.6從樞軸量到雙側置信區間

8.2.7從樞軸量到單側置信限

8.3假設檢驗

8.3.1假設檢驗的基本思想和重要概念

8.3.2區間估計和假設檢驗的密切聯系

8.3.3使用檢驗統計量法進行假設檢驗的解題思路

8.3.4原假設H0與備擇假設H1

8.3.5假設檢驗的兩類錯誤

8.3.6從樞軸量到檢驗統計量

8.3.7從檢驗統計量到拒絕域

8.3.8典型題

8.4小題大做： 兩個正態總體

8.5兩個正態總體假設檢驗的拓展

習題

第9章方差分析和回歸分析

9.1方差分析

9.1.1方差分析的解題思路

9.1.2典型題

9.1.3每個水平下重復試驗次數不全相等

9.1.4參數估計

9.2回歸分析

9.2.1一元線性回歸的直觀解釋

9.2.2參數a,b的估計

9.2.3線性假設的顯著性檢驗

9.2.4線性假設的顯著性檢驗一： 相關系數檢驗

9.2.5線性假設的顯著性檢驗二： F檢驗

9.2.6線性假設的顯著性檢驗三： t檢驗

9.2.7線性假設的顯著性檢驗的典型題

習題

習題詳解

附錄

附錄A考研大綱對照表［2024版］

附錄B微課程二維碼索引

參考文獻