音律算學——數學原理與算法設計

"陳根方，博士，教授，碩士研究生導師；教育部雙萬計劃省級一流本科專業負責人、浙江省音樂人工智能創新團隊負責人、浙江大學一浙江音樂學院音樂人工智能實驗室主任；先後任教於杭州師範大學和浙江音樂學院，主講“音律人門”“音樂與人工智能”“算法設計與分析”“C語言程序設計”“數據結構”“數值分析”等課程；曾獲“杭州師範大學教學十佳”“杭州市優秀教師”“中共杭州市委優秀科技特派員”等稱號。研究領域包括音樂人工智能、非遺數字化保護、律學、計算機音樂等。截至2025年，主持完成國家社科基金等科研項目45項，出版專著《智能音樂學與中國音樂數字媒體論》和《音樂數據分析》；在Journal on Computing and Cultural Heritage、《復旦學報》等期刊上發表論文60余篇；授權中國專利9項、軟件著作權8項。"

目    錄

 

第1章　緒論  1

1.1  聲學與樂理的中介  1

1.2  常見律制  3

1.3  基礎樂理  5

1.4  音律算學概述  8

1.5  書目結構  9

第2章　數學與算法基礎  12

2.1  數的表示  12

2.2  計算工具  14

2.3  數值計算與誤差分析  16

2.4  音律初等運算  18

2.5  音分計算公式  20

2.6  多項式與連分數  23

2.7  圖形化方法  25

2.8  求模運算性質  28

2.9  常用算法技術  32

第3章　五度相生法計算通項式  42

3.1  五度相生律簡介  42

3.2  數理分析  43

3.3  區間約束定理  46

3.4  鏈式生律  48

3.5  計算通項式  49

3.5.1  分數通項式  49

3.5.2  簡易通項式  52

3.6  音分計算  54

第4章　數軸五度音列  56

4.1  數軸五度音列構成  56

4.1.1  合並上行五度音列和下行五度音列  56

4.1.2  數軸五度音列的生成關系  58

4.2  簡易通項式性質  60

4.3  音名新法  62

4.4  五度音分數列  66

4.5  非周期性  70

4.6  鏈式生律唯一性  72

第5章　五度相生法數值計算  75

5.1  條件穩定性  75

5.2  長整數算法  77

5.3  乘三法的小數位  79

5.4  乘三法比值算法  80

5.5  除三法循環小數分析  81

5.6  除三法小數位算法  84

5.7  的近似計算  86

5.8  音分計算  88

5.9  逼近位置計算  90

第6章　五度相生法十大算法  92

6.1  十大算法簡介  92

6.2  單個音律算法  93

6.2.1  通項式算法  94

6.2.2  鏈式算法  95

6.3  連續音律算法  97

6.3.1  通項式算法  97

6.3.2  鏈式算法  98

6.4  算法比較分析  101

第7章　其他律制的音律計算  104

7.1  純律計算通項式  104

7.1.1  純律大音階計算公式  104

7.1.2  純律小音階計算公式  107

7.1.3  純律的音分值計算  111

7.2  十二平均律與中庸全音律計算公式  112

7.3  一般計算公式  113

7.4  純律音系網  114

7.4.1  音系網的構成  114

7.4.2  純律音系網的分析  116

7.5  純律數值計算算法  122

第8章　包絡數  124

8.1  包絡數定義  124

8.2  包絡數性質  128

8.3  包絡數計算方法  132

8.4  包絡數算法  137

第9章　H. Steinhaus猜想推廣  141

9.1  一致分布  141

9.2  間隔分布  142

9.2.1  間隔  142

9.2.2  間隔分布舉例  143

9.3  H. Steinhaus猜想  144

9.4  整數域的H. Steinhaus猜想  147

9.5  二間隔充要條件  151

9.6  間隔分布的性質  155

9.7  H. Steinhaus猜想的進一步推測  160

第10章　音差分析  162

10.1  音差種類  162

10.2  五度音分數列音差分析  163

10.2.1  一致分布  163

10.2.2  音差分布  164

10.2.3  音差分布舉例  166

10.3  異律音差  170

10.4  均分偏差  172

第11章　音階與音程分析  175

11.1  生律與選律  175

11.2  人為辨音  177

11.2.1  最小可辨音差  177

11.2.2  多間隔可聽性  180

11.3  人因音級數  182

11.4  五度律的調式  183

11.5  音階音程分布  186

11.5.1  相鄰音級的音程  187

11.5.2  音組內音程  188

11.6  五度律常見音程  190

11.7  五度律音差組合  195

11.8  數軸五度音列的音程計算  199

11.8.1  音程度數計算  199

11.8.2  音程前綴計算  201

11.8.3  音程音分值計算  203

第12章　音分算法  206

12.1  音級算法  206

12.2  音程算法  207

12.3  音差算法  211

12.4  任意小音差算法  217

12.5  均分偏差算法  218

12.6  異律擬合算法  223

第13章　三分損益法通項式  226

13.1  三分損益律極簡史  226

13.2  上生與下生  228

13.3  京房區間約束  231

13.4  律數計算通項式  232

13.5  區間約束的必要性  235

13.5.1  給定約束區間  235

13.5.2  給定律數比  237

第14章　三分損益律數理分析  239

14.1  鏈式生律的截斷誤差  239

14.2  生成非周期性  240

14.3  律數的音分值分布  244

14.4  京房六十律與錢樂之三百六十律  246

14.4.1  律數計算  246

14.4.2  三種音差分布  249

14.4.3  生成模式分析  251

第15章　三分損益法生成分析  253

15.1  生成序列分析  253

15.2  雙模式組合定理  253

15.2.1  生成模式引理  254

15.2.2  定理證明  257

15.3  生成模式猜測  260

15.4  生成模式特征  261

第16章　三分損益法算法  268

16.1  律數算法  268

16.2  音分與音差算法  273

16.3  任意小音差的輾轉相減法  274

16.4  上/下生判斷算法  274

16.5  生成模式算法  277

第17章　律數最優表示  282

17.1  律數的表示  282

17.2  數制轉換誤差  283

17.3  律數三進制表示  285

17.4  無窮小數表示  287

17.5  最優策略分析  288

17.6  “強/弱”優化算法  291

17.6.1  律數計算  291

17.6.2  均方差與《淮南子》律數  292

17.6.3  貪心法  293

17.6.4  動態規劃算法  297

第18章　蘊意與展望  301

18.1  數學抽象  301

18.2  直接計算  302

18.3  誤差統一可控  303

18.4  鏈式生律有限位表示誤差  305

18.5  簡化音分計算  307

18.6  基於無窮視野的律學分析  308

18.7  輾轉相減法  309

18.8  生成模式搜索問題  311

18.9  數智時代的音樂  312

參考文獻  314

附錄A　代碼  317

附錄B　數據表  318