數值計算方法

崔少燕，理學博士，副教授，碩士生導師。主要研究領域為非線性不穩定性的數值模擬，微分方程數值解。主講《數學分析》《高等數學》《現代數值分析》《線性代數》《微分方程數值解》等核心課程，主持國家自然科學基金，山東省優秀中青年科學家獎勵基金科研項目，發表學術論文20余篇；作為主要成員參與山東省一流本科課程建設項目，山東省普通本科教育課程思政示範課程，山東省普通本科高等學校示範性教學組織項目，山東省高等教育學會項目等項目。

目錄

第1章數值計算中的誤差分析

1．1數值計算方法的研究內容

1．2誤差

1．2．1誤差的來源

1．2．2誤差的概念

1．2．3誤差的運算性質

1．3有效數字

1．4數值計算的原則

1．5本章思維導圖

習題

第2章線性方程組的數值解法

2．1引言

2．2高斯消元法

2．2．1高斯順序消元法

2．2．2高斯主元素消去法

2．3矩陣的三角分解法

2．3．1高斯消元法的矩陣形式

2．3．2杜利特爾分解

2．3．3平方根法

2．3．4解三對角方程組的追趕法

2．4向量與矩陣的範數

2．4．1向量範數

2．4．2矩陣範數

2．5解線性方程組的疊代法

2．5．1簡單疊代法

2．5．2雅可比疊代法

2．5．3高斯賽德爾疊代法

2．5．4逐次超松弛疊代法

2．6本章思維導圖

習題

第3章非線性方程的數值解法

3．1二分法

3．2疊代法

3．2．1疊代法的基本思想

3．2．2疊代法的收斂性

3．2．3疊代法的收斂速度

3．2．4疊代法的加速

3．3牛頓疊代法

3．3．1牛頓疊代公式及其幾何意義

3．3．2牛頓疊代法的收斂性

3．3．3牛頓下山法

3．4弦截法

3．4．1弦截法及其幾何意義

3．4．2弦截法的收斂性

3．5本章思維導圖

習題

第4章矩陣的特征值與特征向量的計算

4．1冪法

4．1．1冪法的運算

4．1．2冪法的規範運算

4．1．3冪法的埃特金加速法

4．2反冪法

4．2．1反冪法的運算

4．2．2用反冪法對近似特征值精確化

4．3旋轉變換和雅可比算法

4．3．1旋轉變換

4．3．2雅可比算法

4．4豪斯霍爾德變換

4．4．1豪斯霍爾德變換的概念

4．4．2化一般矩陣為上海森伯格矩陣

4．5QR方法

4．5．1QR分解

4．5．2QR方法的運算

4．5．3原點移位的QR方法

4．6本章思維導圖

習題

第5章插值法

5．1引言

5．1．1多項式插值

5．1．2插值多項式的唯一性

5．2拉格朗日插值

5．2．1線性插值

5．2．2拋物插值

5．2．3拉格朗日插值

5．2．4插值余項和誤差估計

5．3差商與牛頓插值

5．3．1差商及其性質

5．3．2牛頓插值公式

5．4差分與等距節點插值公式

5．4．1差分

5．4．2差分的性質

5．4．3等距節點插值公式

5．5埃爾米特插值

5．5．1埃爾米特插值公式

5．5．2埃爾米特插值的唯一性及余項

5．6分段低次插值

5．6．1高次插值與龍格現象

5．6．2分段線性插值

5．6．3分段三次埃爾米特插值

5．7三次樣條插值

5．7．1三次樣條插值函數

5．7．2三轉角方程

5．7．3三彎矩方程

5．8本章思維導圖

習題

第6章函數逼近與曲線擬合

6．1引言

6．2函數逼近的基本概念

6．2．1魏爾斯特拉斯定理

6．2．2內積空間和正交多項式

6．3最佳逼近

6．3．1最佳一致逼近

6．3．2最佳平方逼近

6．4曲線擬合的最小二乘法

6．4．1多項式擬合

6．4．2非線性擬合

6．5最佳平方三角逼近

6．6本章思維導圖

習題

第7章數值積分與數值微分

7．1引言

7．2數值積分的一般理論

7．2．1構造數值積分公式的基本思想

7．2．2代數精度的概念

7．2．3求積公式的收斂性與穩定性

7．3牛頓柯特斯公式

7．3．1插值型求積公式

7．3．2牛頓柯特斯系數以及公式推導

7．3．3復化求積公式及其收斂性

7．4龍貝格求積方法

7．4．1梯形法的遞推化

7．4．2龍貝格格式

7．4．3理查森外推技巧

7．5高斯公式

7．5．1高斯公式的性質

7．5．2高斯勒讓德求積公式

7．6數值微分

7．6．1差商法

7．6．2插值法

7．7本章思維導圖

習題

第8章常微分方程數值解法

8．1引言

8．2歐拉方法

8．2．1歐拉公式

8．2．2改進歐拉公式

8．2．3單步法的局部截斷誤差與階

8．3龍格庫塔方法

8．3．1二階龍格庫塔方法

8．3．2三階與四階龍格庫塔方法

8．4單步法的收斂性與穩定性

8．4．1單步法的收斂性

8．4．2單步法的穩定性

8．5線性多步法

8．5．1線性多步法的一般形式

8．5．2亞當斯顯式與隱式公式

8．5．3亞當斯預測校正格式

8．6本章思維導圖

習題

參考文獻