趣味數學及編程拓展（第3版）

目錄

第1章神奇整數探求1

1.1最大公約數與最小公倍數1

1.1.1歐幾裏得的輾轉相除法1

1.1.2涉及最大公約數的貝祖定理4

1.2水仙花數與蘭德爾數6

1.2.1水仙花數6

1.2.2蘭德爾數7

1.3平方數匯趣8

1.3.1數字同奇偶平方數9

1.3.2優美平方數11

1.4勾股數與長方體數13

1.4.1勾股數13

1.4.2長方體數16

1.4.36個正整數問題17

1.5完全數與p完全數19

1.5.1完全數19

1.5.2p完全數21

1.6單數碼方冪數22

1.6.1單數碼平方數22

1.6.2單數碼立方數25

1.7平方數等距趣談25

1.7.1等距整數平方數26

1.7.2歐拉做過的題28

1.8逐位整除數29

1.9神秘的六六大順數32

1.9.1推理揭開神秘面紗33

1.9.2奇妙的“插9”特性34

第2章素數世家風采38

2.1素數搜索38

2.1.1試商判別法39

2.1.2厄拉多塞篩法40

2.2梅森素數與費馬數42

2.3素數變形金剛44

2.3.1金蟬素數44

2.3.2超級素數45

2.4經典素數對與對稱素數47

2.4.1孿生素數與性感素數對47

2.4.2逆序素數對與對稱素數50

2.5素數表達式53

2.5.1哥德巴赫猜想53

2.5.2歐拉表達式與勒讓德表達式55

2.5.3創建素數表達式57

2.6素數等差數列58

2.7玩轉素數小測試60

2.7.1構建素數和環60

2.7.2數碼和為素數的概率63

2.8素集“烏蘭現象”66

2.8.1方螺線中的素集線66

2.8.2回旋層疊另版烏蘭68

2.9連續合數集71

2.9.1最小連續合數集71

2.9.2一枝花世紀與清一色世紀72

第3章數式精彩紛呈75

3.1整數分解式75

3.1.1整數的素因數分解式75

3.1.2分解為連續整數之和78

3.1.3分解為兩整數p次冪之和80

3.2拆分埃及分數式83

3.2.1埃及分數式的拆分與拓展83

3.2.2勾股數埃及分數式91

3.3新穎分數式93

3.3.1橋本分數式93

3.3.2倒立的勾股數式95

3.4優美填數數式97

3.4.13款9數字數式97

3.4.23款10數字數式100

3.5優美綜合運算式102

3.5.1隱序四則運算式102

3.5.2綜合運算式105

3.6優美變序數和式107

3.6.1459+495=954欣賞與拓展107

3.6.2多位多變序數和式110

3.7逆序與變序倍積式113

3.7.1逆序倍積式114

3.7.2優美變序倍積式116

3.8對稱運算式118

3.8.1對稱乘積式118

3.8.2對稱四則運算式121

3.8.3對稱綜合運算式123

3.9雷劈數與卡普雷卡和冪式125

3.9.1雷劈數的多位拓展125

3.9.2卡普雷卡和冪式127

第4章方程經典匯趣131

4.1韓信點兵131

4.2古代趣算133

4.2.1百雞問題133

4.2.2羊犬雞兔問題135

4.3國外趣算137

4.3.1牛頓“牛吃草問題”137

4.3.2100！的結尾有多少個0140

4.4巧解整幣兌零142

4.4.1簡單整幣兌零142

4.4.2增強整幣兌零145

4.5多元不定方程組147

4.5.1雙和不定方程組148

4.5.2和積不定方程組150

4.6解不等式152

4.6.1調和數列不等式152

4.6.2代數和不等式154

4.7和與積的整數部分155

4.7.1平方根的兩個和155

4.7.2分數連乘積160

4.8猴子分桃與水手分椰子162

4.8.1猴子分桃162

4.8.2水手分椰子164

4.9解佩爾方程167

4.9.1枚舉試探求解168

4.9.2應用連分數高精求解170

第5章精巧求解剖析174

5.1互積和與尾數前移174

5.1.1互積和巧算174

5.1.2精妙的尾數前移176

5.2同碼數匯趣178

5.2.1同碼數整除178

5.2.2同碼數求和180

5.3統計的智慧182

5.3.1數位和與數字頻數182

5.3.2方格圖中的正方形個數184

5.3.3巧妙建模187

5.4數據轉換與列表188

5.4.1分數與小數互換188

5.4.2金額小寫轉換為大寫190

5.4.3多規格萬年歷194

5.5梅齊裏亞克砝碼問題196

5.5.1單砝碼盤稱重197

5.5.2雙砝碼盤稱重200

5.601串積與多碼串積203

5.6.1探求01串積204

5.6.2指定多碼串積206

5.7拉馬努金嵌套根式探求208

5.7.1根號內數式相同的根式探求208

5.7.2拓展拉馬努金嵌套平方根式209

5.7.3驗證兩個無窮嵌套立方根式212

5.8伯努利裝錯信封問題214

5.8.1實現排列組合214

5.8.2全錯位排列216

5.9兩個“幽靈”——e與 π218

5.9.1自然常數e219

5.9.2圓周率π221

5.9.3eπpkπe 224

第6章多彩數列欣賞226

6.1相親數對與相親數環226

6.1.1多位相親數對226

6.1.2多節相親數環228

6.2斐波那契序列229

6.2.1探求F/L序列229

6.2.2斐波那契長方形231

6.2.3斐波那契分數數列233

6.3遞推趣談233

6.3.1猴子爬山234

6.3.2精彩雙飛燕234

6.3.3遞推數列項巧證236

6.4指積序列238

6.4.1雙指積序列239

6.4.2多指積序列241

6.5優美數序列243

6.5.1特定優美數序列243

6.5.2指定位優美數序列245

6.62部數序列247

6.6.1雙碼2部數序列247

6.6.2探求2部數積250

6.7連寫數序列252

6.7.1遞增連寫數252

6.7.2遞減連寫數255

6.8德布魯金環258

6.8.1探求34階環258

6.8.2構建n階環260

6.9高超挑剔數列262

第7章最優探索展示267

7.1分解與填數的最值267

7.1.1整數分解的最值267

7.1.2填數字探求最值270

7.2幾款最值探求272

7.2.1兩個條件函數的最大值273

7.2.2一條幾何線段的最小值274

7.3幾何優化設計276

7.3.1構建容積最大容器277

7.3.2優化供水網設計279

7.4智能幾何282

7.4.1智能甲蟲安全點282

7.4.2長棍滑落掃過的面積286

7.5杜登尼省刻度尺287

7.5.1構建省刻度尺288

7.5.2刻度分布線性模型291

7.5.3刻度分布二次模型293

7.6序列與環的最大子段295

7.7矩陣子形之最299

7.7.1探求最小子陣299

7.7.2探索最大子圈301

7.8迷宮撲朔迷離303

7.8.1矩陣迷宮最短通道303

7.8.2三角迷宮最短通道308

7.9泊松分酒311

第8章數形結合出彩316

8.1三角形填數316

8.1.1等邊平方和316

8.1.2等邊和積三角形319

8.2愛因斯坦填數題322

8.3立方體填數324

8.3.1基於拆分的面等和324

8.3.2素數面等和立方體328

8.3.3面等積立方體331

8.4數形結合巧求最值334

8.4.1兩個根式函數的最值334

8.4.2三角形費馬點探求337

8.5數碼金字塔339

8.5.1圈碼金字塔340

8.5.2套含空心圈碼金字塔341

8.6數碼菱形343

8.6.1圈碼菱陣343

8.6.2數碼中空菱形345

8.7數字梯形346

8.7.1兩款數字梯形欣賞346

8.7.2“1和2”平方數梯形347

8.8旋轉方陣與旋轉轉換348

8.8.1雙轉向增減旋轉方陣349

8.8.2方陣與菱陣的相互轉換351

8.9全覆蓋數碼串珠354

第9章智能遊戲探秘358

9.1數字遊戲好玩358

9.1.1數字式pk兩例358

9.1.2數字冪pk三部曲359

9.2數字運算遊戲362

9.2.1快速增長的運算鏈362

9.2.2兩數加減得1遊戲 363

9.3遊戲概率探秘366

9.3.1袋中探取異色球366

9.3.2撲克牌21點368

9.4庫拉茲問題372

9.4.13x+1猜想372

9.4.25x+1拓展374

9.5漢諾塔遊戲376

9.6報數淘汰遊戲379

9.6.1約瑟夫報數出圈379

9.6.2橫排左、右報數出列380

9.7硬幣翻轉遊戲382

9.7.1硬幣行正、反倒面382

9.7.2硬幣矩陣整行列翻轉384

9.8黑洞高深莫測389

9.8.1探求神奇黑洞390

9.8.2拓展多位黑洞394

9.9移動8數碼遊戲396

第10章數陣天地大觀404

10.1中外著名三角數陣404

10.1.1楊輝三角404

10.1.2萊布尼茨三角407

10.2棋盤上的智慧410

10.2.1舍罕王失算410

10.2.2高斯皇後問題412

10.2.3皇後全控棋盤414

10.3馬步路徑與哈密頓圈416

10.3.1最長馬步路徑417

10.3.2可帶障礙的馬步遍歷421

10.3.3馬步型哈密頓圈424

10.4洛書與幻方427

10.4.1千古洛書427

10.4.2構建n階幻方428

10.5對角正交拉丁方431

10.6素數幻方435

10.6.1構建3階素數幻方436

10.6.2構建45階素數幻方440

10.7積幻方445

10.7.134階積幻方445

10.7.2一類奇數階積幻方446

10.8反幻方447

10.8.13階反幻方448

10.8.2n階反幻方449

10.9益智填數3階幻方451

10.9.1推理填6數完成幻方452

10.9.2填7數探求幻和最小幻方453

10.9.3定中心填8數的幻方個數455

參考文獻459