數學分析基礎

<內容簡介>
美麗的數學王國門口有兩根壯碩的大柱子，其中一根為非線性的微積分，而另一根則為線性的線性代數。這兩根大柱子射出美麗的光芒，照耀了數學王國的代數、幾何、分析、物理、工程和經濟，這些光芒不僅提供了它們養分，還幫助它們成長。
數學有五要素：實數、歐式空間、函數、不等式和公理。實數和歐式空間為數學的身體，像電腦的硬體一樣，而函數、不等式和公理為數學的靈魂，像電腦的軟體一樣。電腦一定要有硬體，但是有了硬體，還是不能動，尚需要軟體，才能運作，本書詳細介紹實數、歐式空間、函數、不等式和公理。
這本數學分析基礎，涵蓋非線性的微積分和線性的線性代數，還涵蓋微分方程，此書共計有1,164頁。書中含有目錄、索引、Index、圖像和各式各樣的題目，我們將完整的習題解答，錄成CD，附置於書後。
本書中除了詳細介紹一維微積分外，更詳細介紹二維和三維的多變數分析，因為二維和三維最為其體，且最有感覺。了解二維和三維分析，一方面可以檢驗一維分析，而另一方面則可以學習四維以上之高等微積分，建議先念本書，再念高等微積分。
本書對每一定理和重要概念，都指出其原由和應用。本書每一章還會介紹一節數學家有趣的生平，所謂蹲下來為的是要跳得更高，閱讀完該節後，相信讀者又可以體力充沛地繼續學習下面的章節了。
這本數學分析基礎，是由著者在國立清華大學教了三十餘年的微積分講義補編而成，希望在臺灣能成為一本有意義的教科書和課外讀物。

<章節目錄>

推薦序 李家同
作者序
1實數、函數和數列的定義、不等式和經典公理1
1-1實數1
1-2函數和數列的定義18
1-3不等式25
1-4經典公理30
1-5歷史上第一個大數學家畢達格拉斯38
1-6習題40
2函數的極限43
2-1函數的運算43
2-2函數極限的定義45
2-3函數極限的定理48
2-4右極限和左極限56
2-5函數極限存在和不存在的例子63
2-6蘇格拉底、柏拉圖和亞里士多德81
2-7習題84
3函數的連續87
3-1函數連續的定義87
3-2連續函數三大優異定理93
3-3連續函數六大經典定理97
3-4連續和不連續函數的例子105
3-5大數學家阿基米德113
3-6習題
ix115
4函數的導數119
4-1函數導數的概念119
4-2函數導數的定義120
4-3函數導數三大基本定理124
4-4均值定理130
4-5可微函數與其導函數之間彼此關係密切137
4-6可微和不可微函數的例子141
4-7數學家笛卡兒之網路故事151
4-8數學家笛卡兒152
4-9習題156
5導函數的應用161
5-1曲線的切線斜率、切線方程和法線方程161
5-2均值定理的應用163
5-3函數的增滅、極值、凹凸、反曲點和漸近線166
5-4畫函數的圖形185
5-5法國大數學家費馬188
5-6瑞士馬特洪峰191
5-7習題192
6函數的積分195
6-1可積函數198
6-2積分運算定理210
6-3積分均值定理222
6-4微積分基本定理224
6-5積分的應用—求面積和體積226
6-6數學家巴斯卡232
7初等函數237
7-1反函數定理238
7-2三角函數和反三角函數241
7-3對數函數253
7-4指數函數261
7-5雙曲函數和反雙曲函數266
7-6通世數學家牛頓273
7-7習題275
8積分法277
8-1分部積分法277
8-2變數變換積分法281
8-3部份分式積分法284
8-4三角函數積分法286
8-5三角函數替換積分法292
8-6數學大師歐伊勒295
8-7習題297
9數列301
9-1收斂數列定理301
9-2發散數列運算定理314
9-3上極限和下極限319
9-4一筆畫326
9-5習題327
10級數331
10-1收斂級數和發散級數331
10-2正項級數340
10-3廣義交錯級數348
10-4絕對收斂級數352
10-5數學王子高斯356
10-6習題359
11泰勒理論361
11-1泰勒定理的自來361
11-2泰勒定理363
11-3泰勒級數369
11-4馬克勞林級數370
11-5泰勒定理救人一命。379
11-6天才數學家歌洛怡380
11-7習題382
12數值方法383
12-1牛頓求根法385
12-2壓縮映射定理求定點法390
12-3n次逼近求函數值法393
12-4弦梯積分法395
12-5辛浦森積分法397
12-6千山獨行，壁創宇宙大業─愛因斯坦400
12-7習題404
13函數極限的推廣、不定型、瑕積分和Γ函數405
13-1函數極限的推廣405
13-2不定型407
13-3瑕積分414
13-4Γ函數428
13-5法國龐加萊和德國希爾伯特432
14函數列和函數級數437
14-1函數列437
14-2函數級數450
14-3數學家在哪裡思考數學？461
14-4習題463
15線性空間、線性變換與矩陣空間和歐氏空間467
15-1線性空間467
15-2線性變換空間與矩陣空間483
15-3歐氏空間504
15-4黃金比例數524
15-5習題526
16二變數純量函數的極限和連續529
16-1二變數純量函數的極限529
16-2二變數純量函數的連續538
16-3數學家陳省身555
16-4習題556
17向量函數的極限和連續557
17-1一變數向量函數的極限557
17-2一變數向量函數的連續562
17-3向量場的極限567
17-4向量場的連續570
17-5國際數學聯合會和國際數學家會議575
17-6習題580
18二變數純量函數的微導583
18-1全導數、方向導數、偏導數、梯度和微分583
18-2全導數鏈法則600
18-3均值定理601
18-4隱函數定理602
18-5高階偏導數和泰勒定理604
18-6極值和鞍點611
18-7拉格宏機乘子定理618
18-8鳥和青蛙621
18-9習題627
19向量函數的微導629
19-1單變數向量函數的微導629
19-2向量場的微導640
19-3美國普林斯頓大學。652
19-4習題654
20重積分655
20-1二重可積函數655
20-2二重積分運算定理669
20-3二重積分均值定理680
20-4微分與積分682
20-5有界集上的二重積分687
20-6三重積分687
20-7開發新領域693
20-8習題694
21重積分之計算與應用697
21-1二重積分之計算與應用697
21-2三重積分之計算與應用729
21-3數學的嚴謹與抽象737
22純量場和向量場的線積分與面積分741
22-1純量場、向量場、散度、旋度和梯度741
22-2-2維純量場和向量場的線積分746
22-3-3維純量場和向量場的線積分780
22-4純量場和向量場的面積分785
22-5多變數微積分基本定理803
22-6解決持久問題809
22-7習題810
23微分方程813
23-1初值微分方程和積分方程813
23-2一階微分方程815
23-3初值微分方程組和向量積分方程823
23-4二階微分方程825
23-5數學的力與美839
23-6習題841
索引842
Index861