Part I Overview and physical equations
1 Overview of device modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Devices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Physical theory and modelling equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Physical theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Modelling equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Mathematical and numerical techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 What is in this book, and its limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1 The physical basis of quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 The Schrodinger equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Derivation of the time-dependent Schrodinger equation . . . . 24
2.2.2 The time-independent Schrodinger equation . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Boundary and continuity conditions, and parity. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Boundary and continuity conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 The probability current density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 One dimensional motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.1 General considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.2 Reflection and Transmission coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.3 Single finite step forE < V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.4 Infinite barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.5 Infinite square well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.6 Finite square well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.7 δ-function potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.8 Square potential barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.9 The sech2 potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6 Operators and observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7 The Uncertainty Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8 The postulates of quantum mechanics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.9 The harmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.9.1 Solution of the differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.9.2 The ladder operator method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.9.3 Oscillations in more than one dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.9.4 The displaced harmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.10 Spherically symmetric potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.10.1 The Schrodinger equation in spherical polar coordinates . . . . 64
2.10.2 Solution of the angular components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.10.3 Angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.10.4 The hydrogen atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.11 Angular momentum and spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.11.1 The necessity for extra energy levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.11.2 Generalised angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.11.3 Particles with spin 12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.11.4 Energy splitting using spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.12 Systems of identical particles: BE and FD statistics . . . . . . . . . . . . . . 82
2.12.1 Symmetric and antisymmetric wave functions . . . . . . . . . . . . 82
2.12.2 The Pauli exclusion principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.12.3 Non-interacting identical particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.13 The Schrodinger equation in device modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3 Equilibrium thermodynamics and statistical mechanics . . . . . . . . . . . . 89
3.1 The scope and laws of thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1.1 The Zeroth Law of thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.1.2 The First Law of thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1.3 The Second Law of thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.1.4 Properties of the thermodynamic entropy . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2 The statistical entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3 Maximisation of entropy subject to constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4 The distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4.1 The Canonical distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4.2 The Grand Canonical distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.4.3 The Microcanonical distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.5 Fermi-Dirac and Bose-Einstein statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.6 The continuous approximation and the Ideal Quantum Gas . . . . . . . . 109
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4 Density of states and applications—1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1 Electron number and energy densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1.1 Density of states—general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.1.2 Density of states—particles free in three dimensions . . . . . . . 117
4.1.3 Density of states—particles free in two dimensions . . . . . . . . 119
4.1.4 Density of states—particles free in one dimension . . . . . . . . . 120
4.2 Blackbody radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3 Classical aspects of specific heat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.3.1 The Equipartition of Energy theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.3.2 Examples on the Equipartition of Energy theorem . . . . . . . . . 125
4.4 Quantum aspects of specific heat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.4.1 Quantum vibrational aspects: the Einstein solid . . . . . . . . . . . 127
4.4.2 Quantum rotational aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.4.3 Schottky peaks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.5 Bose-Einstein condensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.6 Thermionic emission. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.7 Semiconductor statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.7.1 Allowed and forbidden bands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.7.2 The effectivemass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.7.3 Electron and hole densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.7.4 The non-degenerate approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5 Density of states and applications—2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.1 Periodic potential: the Bloch theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2 Heterostructures: position-dependent mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.3 Heterostructures: the effective mass approximation . . . . . . . . . . . . . . 149
5.4 Quantum wells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.4.1 The general structure of a quantum well . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.4.2 Density of states in quantum wells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.4.3 Quantum wells—particles free in two dimensions . . . . . . . . . 156
5.4.4 Quantum wells—particles free in one dimension . . . . . . . . . . 157
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6 The transport equations and the device equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.1 The Boltzmann transport equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.1.1 Derivation of the BTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.1.2 The relaxation-time approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.2 Themoments of the BTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.2.1 The general moment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.2.2 First moment: carrier concentration equation . . . . . . . . . . . . . 166
6.2.3 Second moment: momentum conservation equation . . . . . . . 167
6.2.4 Third moment: energy transport equation . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.3 Models based on the BTE moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.3.1 The Poisson equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3.2 The simplified energy transport model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.3.3 The drift-diffusion model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.4 The Wigner distribution function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.4.1 Definition of the Wigner function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.4.2 Properties of the Wigner function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.5 The Wigner transport equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.5.1 Derivation of the Wigner equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.5.2 Special cases of the Wigner equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.5.3 Moments of the Wigner equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.6 Description of a typical device. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.7 Material properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.7.1 GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.7.2 AlGaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.7.3 InGaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.7.4 The electron mobility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.8 The Schrodinger equation applied to the HEMT . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.9 The overall nature of the modelling equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Part II Mathematical and numerical methods
7 Basic approximation and numerical methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.1 Reading the C programmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.2 Finite differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.2.1 Description of themesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.2.2 Numerical differentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.2.3 Numerical integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.2.4 Discretisation of the Poisson and Schrodinger equations . . . . 198
7.3 Solution of simultaneous equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.3.1 Linear equations: direct method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.3.2 Linear equations: relaxation method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.3.3 The Newton method: a brief introduction . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.4 Time discretisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.4.1 Explicit and implicit schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.4.2 The ADImethod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.5 Function updating and fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.5.1 Updating due to altered boundary conditions . . . . . . . . . . . . . 213
7.5.2 Discretising mixed boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.5.3 Modelling abrupt junctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8 Fermi and associated integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.1 Definition of the Fermi integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.1.1 The standard Fermi integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.1.2 The associated Fermi integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.2 Approximation of the associated integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.3 Implementation of the approximation scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.3.1 Method of implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.3.2 Results of the implementation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.3.3 Improvements to the scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.4 Calculation of the standard Fermi integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9 The upwinding method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.1 Description of the upwinding approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.2 Upwinding applied to device equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.3 Upwinding in terms of the C-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.3.1 Definition of the C-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.3.2 Properties of the C-function and related functions . . . . . . . . . 234
9.4 Upwinding using the C-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.5 Numerical diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.6 The limit of uniformtemperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
10 Solution of equations: the Newton and reduced method . . . . . . . . . . . . . 247
10.1 The Newtonmethod for one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
10.2 Error analysis of the Newton method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10.3 The multi-variable Newton method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
10.4 The reduced Newton method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
10.5 The Newton method applied to device modelling . . . . . . . . . . . . . . . . 254
10.5.1 The reduced method applied to device modelling . . . . . . . . . . 254
10.5.2 Example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
11 Solution of equations: the phaseplane method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
11.1 The basis of the phaseplane method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
11.2 The phaseplane method for one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
11.3 Discretisation of the equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
11.4 The condition for a stable solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
11.5 Exact correspondence between the differential and discretised
equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
11.6 A one-variable example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
11.7 The phaseplane equations for several variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.8 Connection with the Newton and SOR/SUR schemes . . . . . . . . . . . . 270
11.9 Error analysis of the phase plane method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
11.9.1 One-variable case using exact derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . 271
11.9.2 One-variable case using central difference derivatives . . . . . . 272
11.9.3 Multi-variable case using exact derivatives . . . . . . . . . . . . . . . 272
11.9.4 Multi-variable case using central difference derivatives . . . . . 275
11.9.5 Multi-variable case using forward difference derivatives . . . . 276
11.10 The phaseplane method applied to device modelling . . . . . . . . . . . . . 277
11.11 Case study: a four-layer four-contact HEMT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
12 Solution of equations: the multigrid method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
12.1 Description of the multigrid method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
12.2 Moving between grids: restriction and prolongation . . . . . . . . . . . . . 286
12.3 Implementation of the multigrid method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
12.4 Efficiency of the multigrid scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
12.5 Multigrids applied to device modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
12.5.1 Case study 1: application to a one-dimensional device . . . . . 293
12.5.2 Case study 2: application to a two-dimensional device . . . . . 299
13 Approximate and numerical solutions of the Schrodinger equation . . 303
13.1 The WKB approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
13.1.1 The basis of theWKB method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
13.1.2 The limit of the approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
13.1.3 The connection formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
13.1.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
13.2 Time independent perturbation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
13.2.1 The first order non-degenerate case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
13.2.2 The second order non-degenerate case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
13.2.3 The degenerate case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
13.2.4 Example: linear perturbation to the harmonic oscillator . . . . 316
13.3 Time dependent perturbation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
13.4 The Variational Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
13.5 Discretisation of the Schrodinger equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
13.5.1 Discretisation in two dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
13.5.2 Discretisation in one dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
13.6 Numerical solution: the iteration method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
13.6.1 The basis of the iterationmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
13.6.2 Numerical implementation of the iteration method . . . . . . . . 326
13.7 Numerical solution: the trial function method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
13.7.1 The basis of the trial function method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
13.7.2 Choice of trial functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
13.7.3 Numerical implementation of the trial function method . . . . 333
13.8 Numerical solution: the matrix method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
14 Genetic algorithms and simulated annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
14.1 How genetic algorithms work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
14.2 Chromosome representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
14.3 The genetic operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
14.3.1 Stage 1: Roulette wheel selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
14.3.2 Stage 2: Crossover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
14.3.3 Stage 3:Mutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
14.4 The multivariable and multifunction cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
14.4.1 Themultivariable case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
14.4.2 The multifunction case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
14.4.3 Example: maximising a function of two variables . . . . . . . . . 354
14.5 Refinements to the GA approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
14.5.1 Differentialmutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
14.5.2 Contractive mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
14.5.3 Range refinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
14.6 Simulated annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
14.6.1 How simulated annealing works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
14.6.2 Acceptance function based on MB statistics . . . . . . . . . . . . . . 362
14.6.3 Acceptance function based on Tsallis statistics . . . . . . . . . . . . 363
14.6.4 Acceptance function based on BE statistics . . . . . . . . . . . . . . . 365
14.6.5 The cooling schedule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
14.7 Application: approximation to the Associated Fermi integrals . . . . . 372
14.7.1 Approximationmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
14.7.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
15 Grid generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
15.1 Overview of grid generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
15.2 Functions of a grid generation programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
15.3 Results from the programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
A The theory of contractive mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401