<內容簡介>
The commercial development of novel semiconductor devices requires that their properties be examined as thoroughly and rapidly as possible. These properties are investigated by obtaining numerical solutions of the highly nonlinear coupled set of equations which govern their behaviour. In particular, the existence of interfaces between different material layers in heterostructures means that quantum solutions must be found in the quantum wells which are formed at these interfaces.
This book presents some of the mathematical and numerical techniques associated with the investigation. It begins with introductions to quantum and statistical mechanics. Later chapters then cover finite differences; multigrids; upwinding techniques; simulated annealing; mesh generation; and the reading of computer code in C++; these chapters are self-contained, and do not rely on the reader having met these topics before. The author explains how the methods can be adapted to the specific needs of device modelling, the advantages and disadvantages of each method, the pitfalls to avoid, and practical hints and tips for successful implementation. Sections of computer code are included to illustrate the methods used.
Written for anyone who is interested in learning about, or refreshing their knowledge of, some of the basic mathematical and numerical methods involved in device modelling, this book is suitable for advanced undergraduate and graduate students, lecturers and researchers working in the fields of electrical engineering and semiconductor device physics, and for students of other mathematical and physical disciplines starting out in device modelling.
<章節目錄>
Part I Overview and physical equations 1 Overview of device modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 Devices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Physical theory and modelling equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Physical theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Modelling equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Mathematical and numerical techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 What is in this book, and its limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1 The physical basis of quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 The Schrodinger equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Derivation of the time-dependent Schrodinger equation . . . . 24 2.2.2 The time-independent Schrodinger equation . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Boundary and continuity conditions, and parity. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1 Boundary and continuity conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2 Parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 The probability current density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 One dimensional motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5.1 General considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5.2 Reflection and Transmission coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.3 Single finite step forE < V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5.4 Infinite barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5.5 Infinite square well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5.6 Finite square well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.7 δ-function potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5.8 Square potential barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5.9 The sech2 potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.6 Operators and observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.7 The Uncertainty Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.8 The postulates of quantum mechanics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.9 The harmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.9.1 Solution of the differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.9.2 The ladder operator method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.9.3 Oscillations in more than one dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.9.4 The displaced harmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.10 Spherically symmetric potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.10.1 The Schrodinger equation in spherical polar coordinates . . . . 64 2.10.2 Solution of the angular components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.10.3 Angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.10.4 The hydrogen atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.11 Angular momentum and spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.11.1 The necessity for extra energy levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.11.2 Generalised angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.11.3 Particles with spin 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.11.4 Energy splitting using spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.12 Systems of identical particles: BE and FD statistics . . . . . . . . . . . . . . 82 2.12.1 Symmetric and antisymmetric wave functions . . . . . . . . . . . . 82 2.12.2 The Pauli exclusion principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.12.3 Non-interacting identical particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.13 The Schrodinger equation in device modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3 Equilibrium thermodynamics and statistical mechanics . . . . . . . . . . . . 89 3.1 The scope and laws of thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.1.1 The Zeroth Law of thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.1.2 The First Law of thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.1.3 The Second Law of thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.1.4 Properties of the thermodynamic entropy . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.2 The statistical entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.3 Maximisation of entropy subject to constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.4 The distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.4.1 The Canonical distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.4.2 The Grand Canonical distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.4.3 The Microcanonical distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.5 Fermi-Dirac and Bose-Einstein statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.6 The continuous approximation and the Ideal Quantum Gas . . . . . . . . 109 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4 Density of states and applications—1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.1 Electron number and energy densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.1.1 Density of states—general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.1.2 Density of states—particles free in three dimensions . . . . . . . 117 4.1.3 Density of states—particles free in two dimensions . . . . . . . . 119 4.1.4 Density of states—particles free in one dimension . . . . . . . . . 120 4.2 Blackbody radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.3 Classical aspects of specific heat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.3.1 The Equipartition of Energy theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.3.2 Examples on the Equipartition of Energy theorem . . . . . . . . . 125 4.4 Quantum aspects of specific heat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.4.1 Quantum vibrational aspects: the Einstein solid . . . . . . . . . . . 127 4.4.2 Quantum rotational aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.4.3 Schottky peaks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5 Bose-Einstein condensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.6 Thermionic emission. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.7 Semiconductor statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.7.1 Allowed and forbidden bands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.7.2 The effectivemass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.7.3 Electron and hole densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.7.4 The non-degenerate approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5 Density of states and applications—2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.1 Periodic potential: the Bloch theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.2 Heterostructures: position-dependent mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.3 Heterostructures: the effective mass approximation . . . . . . . . . . . . . . 149 5.4 Quantum wells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.4.1 The general structure of a quantum well . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.4.2 Density of states in quantum wells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.4.3 Quantum wells—particles free in two dimensions . . . . . . . . . 156 5.4.4 Quantum wells—particles free in one dimension . . . . . . . . . . 157 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6 The transport equations and the device equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.1 The Boltzmann transport equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.1.1 Derivation of the BTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.1.2 The relaxation-time approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.2 Themoments of the BTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 6.2.1 The general moment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.2.2 First moment: carrier concentration equation . . . . . . . . . . . . . 166 6.2.3 Second moment: momentum conservation equation . . . . . . . 167 6.2.4 Third moment: energy transport equation . . . . . . . . . . . . . . . . 168 6.3 Models based on the BTE moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.3.1 The Poisson equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.3.2 The simplified energy transport model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.3.3 The drift-diffusion model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.4 The Wigner distribution function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.4.1 Definition of the Wigner function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.4.2 Properties of the Wigner function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.5 The Wigner transport equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 6.5.1 Derivation of the Wigner equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 6.5.2 Special cases of the Wigner equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6.5.3 Moments of the Wigner equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.6 Description of a typical device. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.7 Material properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6.7.1 GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6.7.2 AlGaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.7.3 InGaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.7.4 The electron mobility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.8 The Schrodinger equation applied to the HEMT . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.9 The overall nature of the modelling equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Part II Mathematical and numerical methods 7 Basic approximation and numerical methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.1 Reading the C programmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.2 Finite differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 7.2.1 Description of themesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 7.2.2 Numerical differentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 7.2.3 Numerical integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 7.2.4 Discretisation of the Poisson and Schrodinger equations . . . . 198 7.3 Solution of simultaneous equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 7.3.1 Linear equations: direct method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 7.3.2 Linear equations: relaxation method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 7.3.3 The Newton method: a brief introduction . . . . . . . . . . . . . . . . 206 7.4 Time discretisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 7.4.1 Explicit and implicit schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.4.2 The ADImethod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7.5 Function updating and fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.5.1 Updating due to altered boundary conditions . . . . . . . . . . . . . 213 7.5.2 Discretising mixed boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.5.3 Modelling abrupt junctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 8 Fermi and associated integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 8.1 Definition of the Fermi integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 8.1.1 The standard Fermi integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 8.1.2 The associated Fermi integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 8.2 Approximation of the associated integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 8.3 Implementation of the approximation scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 8.3.1 Method of implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 8.3.2 Results of the implementation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 8.3.3 Improvements to the scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 8.4 Calculation of the standard Fermi integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 9 The upwinding method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 9.1 Description of the upwinding approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 9.2 Upwinding applied to device equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 9.3 Upwinding in terms of the C-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.3.1 Definition of the C-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.3.2 Properties of the C-function and related functions . . . . . . . . . 234 9.4 Upwinding using the C-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 9.5 Numerical diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 9.6 The limit of uniformtemperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 10 Solution of equations: the Newton and reduced method . . . . . . . . . . . . . 247 10.1 The Newtonmethod for one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 10.2 Error analysis of the Newton method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 10.3 The multi-variable Newton method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 10.4 The reduced Newton method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 10.5 The Newton method applied to device modelling . . . . . . . . . . . . . . . . 254 10.5.1 The reduced method applied to device modelling . . . . . . . . . . 254 10.5.2 Example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 11 Solution of equations: the phaseplane method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 11.1 The basis of the phaseplane method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 11.2 The phaseplane method for one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 11.3 Discretisation of the equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 11.4 The condition for a stable solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 11.5 Exact correspondence between the differential and discretised equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 11.6 A one-variable example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 11.7 The phaseplane equations for several variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 11.8 Connection with the Newton and SOR/SUR schemes . . . . . . . . . . . . 270 11.9 Error analysis of the phase plane method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 11.9.1 One-variable case using exact derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . 271 11.9.2 One-variable case using central difference derivatives . . . . . . 272 11.9.3 Multi-variable case using exact derivatives . . . . . . . . . . . . . . . 272 11.9.4 Multi-variable case using central difference derivatives . . . . . 275 11.9.5 Multi-variable case using forward difference derivatives . . . . 276 11.10 The phaseplane method applied to device modelling . . . . . . . . . . . . . 277 11.11 Case study: a four-layer four-contact HEMT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 12 Solution of equations: the multigrid method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 12.1 Description of the multigrid method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 12.2 Moving between grids: restriction and prolongation . . . . . . . . . . . . . 286 12.3 Implementation of the multigrid method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 12.4 Efficiency of the multigrid scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 12.5 Multigrids applied to device modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 12.5.1 Case study 1: application to a one-dimensional device . . . . . 293 12.5.2 Case study 2: application to a two-dimensional device . . . . . 299 13 Approximate and numerical solutions of the Schrodinger equation . . 303 13.1 The WKB approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 13.1.1 The basis of theWKB method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 13.1.2 The limit of the approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 13.1.3 The connection formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 13.1.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 13.2 Time independent perturbation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 13.2.1 The first order non-degenerate case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 13.2.2 The second order non-degenerate case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 13.2.3 The degenerate case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 13.2.4 Example: linear perturbation to the harmonic oscillator . . . . 316 13.3 Time dependent perturbation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 13.4 The Variational Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 13.5 Discretisation of the Schrodinger equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 13.5.1 Discretisation in two dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 13.5.2 Discretisation in one dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 13.6 Numerical solution: the iteration method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 13.6.1 The basis of the iterationmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 13.6.2 Numerical implementation of the iteration method . . . . . . . . 326 13.7 Numerical solution: the trial function method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 13.7.1 The basis of the trial function method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 13.7.2 Choice of trial functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 13.7.3 Numerical implementation of the trial function method . . . . 333 13.8 Numerical solution: the matrix method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 14 Genetic algorithms and simulated annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 14.1 How genetic algorithms work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 14.2 Chromosome representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 14.3 The genetic operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 14.3.1 Stage 1: Roulette wheel selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 14.3.2 Stage 2: Crossover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 14.3.3 Stage 3:Mutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 14.4 The multivariable and multifunction cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 14.4.1 Themultivariable case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 14.4.2 The multifunction case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 14.4.3 Example: maximising a function of two variables . . . . . . . . . 354 14.5 Refinements to the GA approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 14.5.1 Differentialmutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 14.5.2 Contractive mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 14.5.3 Range refinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 14.6 Simulated annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 14.6.1 How simulated annealing works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 14.6.2 Acceptance function based on MB statistics . . . . . . . . . . . . . . 362 14.6.3 Acceptance function based on Tsallis statistics . . . . . . . . . . . . 363 14.6.4 Acceptance function based on BE statistics . . . . . . . . . . . . . . . 365 14.6.5 The cooling schedule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 14.7 Application: approximation to the Associated Fermi integrals . . . . . 372 14.7.1 Approximationmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 14.7.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 15 Grid generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 15.1 Overview of grid generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 15.2 Functions of a grid generation programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 15.3 Results from the programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 A The theory of contractive mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
|
|