傅裏葉分析(精)

伊萊亞斯M.斯坦恩，著名數學家，美國普林斯頓大學終身教授，美國國家科學院院士，美國文理學院院士，沃爾夫獎獲得者。他是當代分析，特別是調和分析領域的領袖人物之一。由於在該研究領域的突出貢獻，Elias M.Stein榮獲1984年美國數學會的Steele獎，1993年獲得瑞士科學院頒發的Schock獎，他的許多著作成為影響學科發展的重要參考文獻。

前言
引言
第1章 Fourier級數的起源
1.1 弦振動
1.1.1 波動方程的導出
1.1.2 波方程的解
1.1.3 實例：撥弦
1.2 熱傳導方程
1.2.1 熱傳導方程的推導
1.2.2 圓盤上的穩態熱傳導方程
1.3 練習
1.4 問題
第2章 Fourier級數的基本性質
2.1 問題的例子和公式
2.1.1 主要的定義和一些實例
2.2 Fourier級數的唯一性
2.3 卷積
2.4 好核
2.5 Cesaro和Abel求和：Fourier級數的應用
2.5.1 Cesaro平均和加和
2.5.2 Fejér定理
2.5.3 Abel平均與求和
2.5.4 Poisson核和單位圓盤上的Dirichlet問題
2.6 練習
2.7 問題
第3章 Fourier級數的收斂性
3.1 Fourier級數的均方收斂
3.1.1 向量空間和內積
3.1.2 均方收斂的證明
3.2 逐點收斂
3.2.1 一個局部的結果
3.2.2 具有發散Fourier級數的連續函數的例子
3.3 練習
3.4 問題
第4章 Fourier級數的一些應用
4.1 等周不等式
4.1.1 曲線、長度和面積
4.1.2 等周不等式的內容與證明
4.2 Weyl等分布定理
4.2.1 實數以整數取模
4.3 處處不可微的連續函數
4.4 圓上的熱方程
4.5 練習
4.6 問題
第5章 R上的Fourier變換
5.1 Fourier變換的基本理論
5.1.1 實數域上函數的積分
5.1.2 Fourier變換的定義
5.1.3 Schwartz空間
5.1.4 S上的Fourier變換
5.1.5 Fourier反演
5.1.6 Plancherel公式
5.1.7 推廣到適度下降函數情形
5.1.8 Weierstrass逼近定理
5.2 偏微分方程中的一些應用
5.2.1 實數域上的時間依賴性熱傳導方程
5.2.2 上半平面的穩態熱傳導方程
5.3 Poisson求和公式
5.3.1 Theta和Zeta函數
5.3.2 熱核
5.3.3 Poisson核
5.4 Heisenberg不確定性原理
5.5 練習
5.6 問題
第6章 Rd上的Fourier變換
6.1 預備知識
6.1.1 對稱性
6.1.2 Rd上的積分
6.2 Fourier變換的初等理論
6.3 Rd×R上的波動方程
6.3.1 解的Fourier變換表示
6.3.2 R3×R上的波動方程
6.3.3 R2×R上的波動方程：降維法
6.4 徑向對稱與Bessel函數
6.5 Radon變換及其應用
6.5.1 R2中的X射線變換
6.5.2 R3中的Radon變換
6.5.3 平面波的註記
6.6 練習
6.7 問題
第7章 有限Fourier分析
7.1 Z(N)上的Fourier分析
7.1.1 群Z(N)
7.1.2 群Z(N)上的Fourier逆變換定理和Plancherel等式
7.1.3 快速Fourier變換
7.2 有限Abelian群上的Fourier分析
7.2.1 Abelian群
7.2.2 特征
7.2.3 正交關系
7.2.4 特征集合
7.2.5 Fourier逆變換和Plancherel公式
7.3 練習
7.4 問題
第8章 Dirichlet定理
8.1 一些基本的數論知識
8.1.1 算術基本定理
8.1.2 素數的無窮性
8.2 Dirichlet定理
8.2.1 Fourier分析、Dirichlet特征和定理簡化
8.2.2 Dirichlet L函數
8.3 Dirichlet定理的證明
8.3.1 對數
8.3.2 L函數
8.3.3 L函數的非消失性
8.4 練習
8.5 問題
第9章 積分
9.1 Riemann可積函數的定義
9.1.1 基本性質
9.1.2 零測集和可積函數的不連續性
9.2 多重積分
9.2.1 Rd上的Riemann積分
9.2.2 累次積分
9.2.3 變量替換公式
9.2.4 球坐標
9.3 反常積分、Rd上的積分
9.3.1 緩降函數的積分
9.3.2 累次積分
9.3.3 球坐標
參考文獻