數學之美：數字革命背後的底層邏輯

薄立軍 黃一傑

數學之美：數字革命背後的底層邏輯

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商品描述

即便你不是數學或計算機專業的學者，也完全可以享受這本書帶來的啟發。本書用易懂的語言和生動的實例，解釋了數字世界背後那些優美而基礎的理念：信息如何被測量？信號為何能抗幹擾？計算機能力的邊界在哪裏？作者巧妙地回避了覆雜的公式推導，轉而聚焦於思想的脈絡及其實際意義。 沿著數字革命的歷史脈絡，本書重新梳理了相關的數學知識，內容覆蓋信息論、通信、電子與計算機等多個領域。從摩爾斯電碼到香農的信息論，從繼電器到神經網絡，以清晰的歷史脈絡與思想演進為主線，將每個重大突破背後的“為什麼”娓娓道來。 如果你對身邊無處不在的數字技術懷有好奇，並希望超越泛泛而談，獲得紮實的理解，那麼這本書提供了一個友好而可信的入口。通過閱讀本書，你能清晰地認識數學在數字革命中的重要貢獻與核心作用，並催生學習、運用與發展數學的熱情，為進一步推動數字革命做出積極貢獻。 本書適合具備高中數學背景的普通讀者、對數字時代充滿好奇的技術愛好者，以及希望建立完整知識結構的理工科學生閱讀。

作者簡介

克裏斯·伯恩哈特（Chris Bernhardt），美國費爾菲爾德大學數學系教授，Turing's Vision: The Birth of Computer Science一書的作者。

目錄大綱

譯者序
前言
致謝
第1章 數字革命
1.1 模擬信號與數字信號
1.2 文字與字母系統
1.3 電報
1.4 模擬革命
1.5 後續內容
第2章 信息
2.1 貝爾實驗室
2.2 數學理論
2.3 信息單位與二進制數字
2.4 信息比特數的數學定義
2.5 熵：字符的平均信息量
2.6 英語文本
2.7 最大熵原理
第3章 信息、冗餘與壓縮
3.1 壓縮的必要性
3.2 擲硬幣實驗
3.3 壓縮：將YN塊發送至01塊
3.4 編碼
3.5 瞬時碼
3.6 霍夫曼編碼
3.7 香農第一定理
3.8 冗餘度
第4章 錯誤糾正與噪聲
4.1 錯誤檢測
4.2 漢明碼
4.3 漢明距離
4.4 隱寫術
4.5 二進制對稱信道
4.6 噪聲的熵
4.7 香農噪聲信道定理
4.8 說明香農噪聲信道定理的示例
4.9 證明思路
4.10 香農噪聲信道定理的重要性
第5章 加密技術
5.1 替換密碼
5.2 置換密碼
5.3 對稱密鑰加密
5.4 高級加密標準
5.5 模運算
5.6 數論中的經典定理
5.7 RSA的初始設置
5.8 RSA的加密通信流程
5.9 RSA示例分析
5.10 數字簽名與數字證書
5.11 量子攻擊
5.12 後續內容
第6章 模擬-數字轉換
6.1 三角學
6.2 傅裏葉級數
6.3 聲音的數字化
6.4 示例
6.5 數字化方法
6.6 奈奎斯特-香農采樣定理
6.7 混疊現象
6.8 後續內容
第7章 計算理論
7.1 香農關於開關與繼電器的論文
7.2 邏輯學
7.3 布爾函數、邏輯等價性與函數完備性
7.4 布爾代數
7.5 開關與繼電器
7.6 繼電器、真空管和晶體管
7.7 圖靈關於計算的論文
7.8 希爾伯特綱領與哥德爾不完備性定理
7.9 括號匹配
7.10 圖靈機
7.11 用於判斷括號是否匹配的圖靈機
7.12 丘奇-圖靈論題
7.13 通用計算機
7.14 拓展存儲器
7.15 多樣性
第8章 機器學習
8.1 MNIST數據集
8.2 學習算法簡介
8.3 梯度下降法
8.4 導數
8.5 數值導數
8.6 二次成本函數的梯度下降
8.7 單參數成本函數
8.8 雙參數成本函數
8.9 偏導數
8.10 數值偏導數
8.11 多參數成本函數
8.12 學習算法
8.13 數據
8.14 監督學習示例
8.15 無監督學習示例
8.16 總結
第9章 神經網絡
9.1 神經網絡與邏輯
9.2 神經網絡與學習
9.3 用於MNIST數據集的神經網絡
9.4 算法實現
9.5 神經網絡學到了什麼
9.6 卷積神經網絡
9.7 未來發展方向
附錄
附錄A 計數證明
附錄B 快速傅裏葉變換
附錄C 停機問題

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