高等數學（上冊）（慕課版）

山東大學數學學院教授，泰山學堂主講教師，山東數學會高等數學專業委員會主任,全國大學生數學競賽山東賽區負責人，全國微課程比賽山東賽區副主任兼秘書長,中國大學先修課程《微積分》特聘教授。作為主要成員完成國家科學基金及山東省自然科學基金項目6項，主持或參與省部級教學研究項目5項；發表學術論文50餘篇；參與編寫的《微積分》入選國家十二五規劃教材；曾獲“山東省中青年學術骨乾、學科帶頭人”等稱號。

第1章　函數、極限與連續

1.1函數1

1.1.1預備知識1

1.1.2函數的概念及常見的分段

函數3

1.1.3函數的性質及四則運算6

1.1.4反函數8

1.1.5復合函數8

1.1.6初等函數9

1.1.7建立函數關系舉例12

同步習題1.113

1.2極限的概念與性質15

1.2.1數列極限的定義15

1.2.2收斂數列的性質17

1.2.3函數極限的定義18

1.2.4函數極限的性質22

同步習題1.223

1.3極限的運算法則24

1.3.1極限的四則運算法則24

1.3.2極限存在準則26

1.3.3重要極限Ⅰ28

1.3.4重要極限Ⅱ28

同步習題1.329

1.4無窮小與無窮大30

1.4.1無窮小31

1.4.2無窮大32

1.4.3無窮小的比較33

1.4.4等價無窮小代換34

同步習題1.435

1.5函數的連續性37

1.5.1函數連續的定義37

1.5.2函數的間斷點39

1.5.3連續函數的性質40

1.5.4閉區間上連續函數的性質41

同步習題1.542

1.6函數極限的建模應用43

同步習題1.647

1.7MATLAB簡介及用MATLAB

求極限48

1.7.1MATLAB簡介48

1.7.2用MATLAB求極限49

第1章思維導圖50

第1章總復習題51

 

第2章　導數與微分

2.1導數的概念53

2.1.1兩個經典引例53

2.1.2導數的定義55

2.1.3導數的幾何意義59

2.1.4可導與連續的關系59

同步習題2.161

2.2函數的求導法則63

2.2.1函數和、差、積、商的求導法則63

2.2.2反函數求導法則64

2.2.3復合函數求導法則65

2.2.4高階導數68

同步習題2.270

2.3隱函數及由參數方程確定的函數的求導72

2.3.1隱函數的求導72

2.3.2對數求導法73

2.3.3由參數方程確定的函數的求導74

同步習題2.376

2.4函數的微分76

2.4.1微分的定義77

2.4.2微分的幾何意義78

2.4.3微分的計算79

2.4.4微分的應用80

同步習題2.481

2.5用MATLAB求導數81

第2章思維導圖83

第2章總復習題84

 

第3章　微分中值定理與導數的應用

3.1微分中值定理86

3.1.1羅爾定理86

3.1.2拉格朗日中值定理88

3.1.3柯西中值定理90

同步習題3.192

3.2洛必達法則93

3.2.1“00”型未定式93

3.2.2“∞∞”型未定式94

3.2.3其他類型的未定式96

同步習題3.298

3.3泰勒中值定理99

3.3.1泰勒中值定理99

3.3.2麥克勞林公式100

3.3.3幾個重要初等函數的

麥克勞林公式101

3.3.4泰勒公式的應用102

同步習題3.3104

3.4函數的單調性、極值和最值104

3.4.1函數的單調性104

3.4.2函數的極值107

3.4.3函數的最值109

同步習題3.4111

3.5曲線的凹凸性及函數作圖112

3.5.1曲線的凹凸性與拐點112

3.5.2曲線的漸近線114

3.5.3函數作圖116

同步習題3.5118

3.6弧微分與曲率119

3.6.1弧微分119

3.6.2曲率120

3.6.3曲率半徑與曲率圓122

同步習題3.6122

3.7用MATLAB求函數極值123

第3章思維導圖125

第3章總復習題126

 

第4章　不定積分

4.1不定積分的概念與性質128

4.1.1原函數128

4.1.2不定積分的定義129

4.1.3不定積分的幾何意義130

4.1.4不定積分的性質130

4.1.5基本積分公式132

同步習題4.1134

4.2換元積分法135

4.2.1第一換元積分法135

4.2.2第二換元積分法139

同步習題4.2143

4.3分部積分法144

同步習題4.3147

4.4有理函數的積分148

4.4.1有理函數的積分148

4.4.2三角有理函數的積分151

同步習題4.4152

4.5用MATLAB求不定積分153

第4章思維導圖154

第4章總復習題155

 

第5章　定積分及其應用

5.1定積分的概念與性質156

5.1.1兩個實際問題156

5.1.2定積分的定義158

5.1.3定積分的幾何意義159

5.1.4定積分的性質160

同步習題5.1162

5.2微積分基本公式163

5.2.1積分上限函數163

5.2.2微積分基本公式164

5.2.3定積分的換元積分法166

5.2.4定積分的分部積分法168

同步習題5.21705.3廣義積分171

5.3.1無窮區間上的廣義積分172

5.3.2無界函數的廣義積分174

同步習題5.3176

5.4定積分的應用176

5.4.1微元法176

5.4.2定積分在幾何上的應用177

5.4.3定積分在物理上的應用183

同步習題5.4187

5.5用MATLAB求定積分188

第5章思維導圖189

第5章總復習題190

 

第6章　常微分方程

6.1微分方程的基本概念192

6.1.1引例192

6.1.2微分方程的定義193

同步習題6.1195

6.2一階微分方程196

6.2.1可分離變量的微分方程

196

6.2.2齊次方程198

6.2.3一階線性微分方程199

*6.2.4伯努利方程202

同步習題6.2203

6.3可降階的高階微分方程204

6.3.1y（n）=f（x）型的微分方程204

6.3.2y″=f（x，y′）型的微分方程205

6.3.3y″=f（y，y′）型的微分方程206

同步習題6.3207

6.4高階線性微分方程207

6.4.1線性微分方程解的結構208

6.4.2二階常系數齊次線性微分方程209

6.4.3二階常系數非齊次線性微分方程211

同步習題6.4215

*6.5歐拉方程和常系數線性微分方程組215

6.5.1歐拉方程216

6.5.2常系數線性微分方程組219

同步習題6.5220

6.6常微分方程的應用220

同步習題6.6224

6.7用MATLAB求解微分方程（組）224

第6章思維導圖226

第6章總復習題227

 

附錄Ⅰ　初等數學常用公式

一、代數229

二、三角函數230

三、幾何231

 

附錄Ⅱ　高等數學常用公式

一、導數的基本公式233

二、不定積分基本公式233

三、簡易積分公式234

 

附錄Ⅲ　常用曲線及其方程

 

參考答案239

即時提問答案239

同步習題答案242

總復習題答案256