非平穩隨機信號的分數域分析與處理

主要圍繞通信、雷達、生物醫學等實際工程領域中常見的兩種chirp型非平穩隨機信號——chirp平穩信號和chirp循環平穩信號展開，詳細介紹了這兩種信號的分數域信號分析與處理理論和應用，為非平穩隨機信號的分數域分析提供了研究框架。

本書選取以線性正則變換和分數傅里葉變換為代表的分數變換，介紹chirp平穩信號的二階統計量定義與性質、通過線性時變系統後的統計規律及不同變換域的信息量變化規律；在此基礎上，介紹這些基本原理在時變匹配濾波、時變反捲積系統設計中的應用；介紹chirp 循環平穩信號的統計量定義與估計子、經過時變系統後的統計規律；進而介紹這些基本原理在時變匹配濾波、時變系統辨識、心電信號特徵提取等方面的應用。

苗红霞

博士，北京邮电大学特聘副研究员、博士生导师。主持国家自然科学基金青年项目一项，主持国家重点实验室自主探索课题一项，参与国家重点研发计划项目一项，发表IEEE TSP、SPL及Elsevier的SP等SCI国际期刊论文十余篇，发表EI论文一篇。主要研究方向为分数域信号分析与处理、时频分析、chirp循环平稳信号处理理论与应用。

张峰

北京理工大学副教授、博士生导师。获教育 部自然科学一等奖。出版教材《集合论基础教程》，在IEEE的TSP、TIM、SPL、以及Elsevier的SP等国际学术期刊发表论文多篇。

彭木根

教授，博士生导师，教 育部国家高层次人才、国家杰出青年科学基金获得者、中组部科技创新领军人才、IEEE Fellow、中国电子学会会士、中国通信学会会士。连续多年入选科睿唯安 全球ESI高被引科 学家和爱思唯尔中国高被引学 者。获中国授权技术发明专利一百余项，美国授权发明专利二十余项。发表IEEE期刊论文二百余篇，其中ESI高被引用论文三十余篇，谷歌学术引用二万余次。获IEEE通信学会海因里希-赫兹奖、IEEE通信学会亚太区杰出青年学 者奖，JCN年度最 佳期刊论文奖等。出版中英文学术专著十余部，获中华优 秀出版物奖图书奖。

第 1 章 引論 1

1.1　引言　1

1.2　chirp 平穩信號處理研究進展　2

1.3　循環平穩信號處理研究進展　3

1.4　chirp 循環平穩信號處理研究進展　5

第　2 章 傅里葉分析與時頻分析基礎　9

2.1　傅里葉分析　9

2.1.1　確定信號的傅里葉變換　9

2.1.2　隨機過程的傅里葉分析　13

2.1.3　隨機過程的諧波分解　20

2.1.4　正弦波抽取算子　21

2.2　短時傅里葉變換　23

2.3　二次型時頻分佈　28

2.3.1　Wigner-Ville 分佈　29

2.3.2　模糊函數　31

2.3.3　Cohen 類　33

2.4　分數傅里葉分析　33

2.4.1　線性正則變換與分數傅里葉變換　34

2.4.2　線性時變系統　46

2.5　本章小結　47

第　3 章 chirp 平穩信號的分數域分析　49

3.1　chirp 平穩信號　49

3.1.1　chirp 平穩信號的概念與統計量　49

3.1.2　chirp 平穩信號的分數域表徵　51

3.2　chirp 平穩信號經過線性時變系統後的統計性質　53

3.3　線性時變匹配濾波器設計　56

3.3.1　分數域線性時變匹配濾波器設計　56

3.3.2　線性正則域時變匹配濾波器設計　58

3.4　chirp 平穩信號與信息論　61

3.4.1　信息論基礎　61

3.4.2　chirp 平穩信號互信息率的存在性與性質　62

3.4.3　互信息率在濾波器設計中的應用　66

3.4.4　互信息率在 chirp 平穩信號參數估計中的應用　70

3.5　本章小結　77

第　4 章 循環平穩信號處理與應用　79

4.1　循環平穩信號處理理論　79

4.1.1　一階循環平穩信號　79

4.1.2　二階循環平穩信號　81

4.1.3　高階循環平穩信號　92

4.2　循環平穩信號處理理論的應用　95

4.2.1　循環平穩信號檢測　95

4.2.2　循環維納濾波 .　101

4.2.3　循環平穩信號的波達方向估計　103

4.3　本章小結　104

第　5 章 chirp 循環平穩信號的分析與處理　106

5.1　chirp 循環平穩信號定義及統計量　106

5.1.1　一階 chirp 循環統計量　106

5.1.2　二階 chirp 循環統計量　108

5.2　chirp 循環統計量的估計子　120

5.3　chirp 循環統計量在濾波中的應用　122

5.3.1　chirp 循環匹配濾波及其性質　122

5.3.2　chirp 循環系統辨識及其性質　134

5.4　chirp 循環統計量在檢測與參數估計中的應用　135

5.5　基於分數傅里葉變換的 chirp 周期估計　144

5.5.1　無限長序列的分數拉馬努金變換　145

5.5.2　有限長序列的分數拉馬努金變換　150

5.5.3　有關 chirp 周期參數估計的模擬　160

5.6　本章小結　164

第　6 章 廣義分時框架中的 chirp 循環平穩信號分析與處理　165

6.1　引言　165

6.2　廣義分時概率框架　167

6.3　廣義分時概率框架中 chirp 循環平穩信號的統計量　170

6.3.1　chirp 循環平穩信號的時變統計量　170

6.3.2　chirp 循環平穩信號的時不變統計量　172

6.4　廣義分時概率框架中統計量的性質　178

6.5　廣義分時概率框架中統計量的估計子　181

6.6　本章小結　186

附錄　A 分數變換定義和分解的數學基礎　187

附錄　B 等式（3.79）中矩陣元素的值　192

附錄　C 定理 9 的證明　197

附錄　D chirp 循環相關函數和 chirp 循環譜函數的乘積性質　200

附錄　E 定理 11 的證明 .　202

附錄　F 定理 12 的證明 .　204

附錄　G 廣義分數捲積定理　206

附錄　H 定理 14 的證明　208

參考文獻　211

結束語　228