分數微積分——理論基礎與應用導論 Fractional Differential Equations: An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some

Igor Podlubny
為斯洛伐克科希策理工大學教授，應用數學博士，專註於研究數學在其他領域的應用，特別是對任意階微分方程的應用。

袁曉
1964年生，四川中江人，工學博士，四川大學電子信息學院副教授。
目前主要從事現代電路系統理論與技術、現代信號分析與處理等方面的研究與教學。
近年來，致力於探索並建立表徵與分析、理解與構造分數階（電路）元件、分抗逼近電路、分數階電路與系統等的一般數學原理與方法。
提出標度拓展理論，探索與建立非正則標度方程相關理論與求解方法。

第1章分數微積分中使用的特殊函數
1．1伽馬函數
1．1．1伽馬函數的定義
1．1．2伽馬函數的一些性質
1．1．3伽馬函數的極限表示
1．1．4貝塔函數
1．1．5圍線積分錶示
1．1．61/Γ(z)的圍線積分錶示
1．2米塔-列夫勒函數
1．2．1定義及其一些函數關係
1．2．2雙參量米塔-列夫勒函數的拉普拉斯□換
1．2．3米塔-列夫勒函數的導數
1．2．4有關米塔-列夫勒函數的微分方程
1．2．5求和公式
1．2．6米塔-列夫勒函數的積分
1．2．7漸近展開
1．3賴特函數
1．3．1賴特函數的定義
1．3．2賴特函數的積分錶達式
1．3．3賴特函數與其他函數的關係
第2章分數導數與分數積分
2．1基本概念與名稱
2．2格林瓦爾-萊特尼科夫分數導數
2．2．1整數階導數與積分的統一定義
2．2．2任意階積分
2．2．3任意階導數
2．2．4(t－a)β的分數導數
2．2．5具有整數階導數的複合運算
2．2．6分數導數的複合運算
2．3黎曼-劉維爾分數導數
2．3．1整數階導數與積分的統一定義
2．3．2任意階積分
2．3．3任意階導數
2．3．4(t－a)β的分數導數
2．3．5黎曼-劉維爾分數導數與整數階導數的複合運算
2．3．6分數導數的複合運算
2．3．7黎曼-劉維爾定義與格林瓦爾-萊特尼科夫定義之間的關係
2．4其他一些定義
2．4．1卡普途分數導數
2．4．2廣義函數法
2．5序貫分數導數
2．6左和右分數導數
2．7分數導數的性質
2．7．1線性性質
2．7．2分數導數的萊布尼茨法則
2．7．3複合函數的分數導數
2．7．4單參量積分的黎曼-劉維爾分數導數
2．7．5下端點附近的行為
2．7．6遠離下端點的行為
2．8分數導數的拉普拉斯□換
2．8．1拉普拉斯□換的基本知識
2．8．2黎曼-劉維爾分數導數的拉普拉斯□換
2．8．3卡普途分數導數的拉普拉斯□換
2．8．4格林瓦爾-萊特尼科夫分數導數的拉普拉斯□換
2．8．5米勒-羅斯序貫分數導數的拉普拉斯□換
2．9分數導數的傅裏葉□換
2．9．1傅裏葉□換的基本知識
2．9．2分數積分的傅裏葉□換
2．9．3分數導數的傅裏葉□換
2．10分數導數的梅林□換
2．10．1梅林□換的基本知識
2．10．2黎曼-劉維爾分數積分的梅林□換
2．10．3黎曼-劉維爾分數導數的梅林□換
2．10．4卡普途分數導數的梅林□換
2．10．5米勒-羅斯分數導數的梅林□換
第3章分數微分方程：解的存在性與唯一性定理
3．1線性分數微分方程
3．2一般形式的分數微分方程
3．3作為解法的存在性與唯一性定理
3．4解與初始條件的依賴關係
第4章分數微分方程：拉普拉斯□換法
4．1標準分數微分方程
4．1．1常線性分數微分方程
4．1．2偏線性分數微分方程
4．2序貫分數微分方程
4．2．1常線性分數微分方程
4．2．2偏線性分數微分方程
第5章分數格林函數
5．1定義與性質
5．1．1定義
5．1．2性質
5．2單項方程
5．3雙項方程
5．4三項方程
5．5四項方程
5．6一般情況：n項方程
第6章分數階方程的其他求解方法
6．1梅林□換法
6．2冪級數法
6．2．1單項方程
6．2．2非定常係數方程
6．2．3雙項非線性方程
6．3Babenko符號演算法
6．3．1符號法的思想
6．3．2在熱傳導和物質輸運中的應用
6．3．3Babenko符號法與拉普拉斯□換法的聯繫
6．4正交多項式法
6．4．1正交多項式法的核心思想
6．4．2正交多項式法的一般技巧
6．4．3裡斯分數碼勢
6．4．4左黎曼-劉維爾分數積分和導數
6．4．5有關左黎曼-劉維爾分數積分的其他譜系關係
6．4．6右黎曼-劉維爾分數積分的譜系關係
6．4．7蠕□理論中的Arutyunyan方程求解
6．4．8阿貝爾積分方程的求解
6．4．9有限部分積分
6．4．10與非可積權函數正交的雅可比多項式
第7章分數導數的數值計算
7．1分數階導數的黎曼-劉維爾定義與格林瓦爾-萊特尼科夫定義
7．2分數導數的逼近
7．2．1分數差分法
7．2．2求積公式的應用
7．3“短時記憶”原理
7．4逼近階
7．5係數的計算
7．6高階逼近
7．7高爐牆體內熱負荷強度□化的計算
7．7．1問題的引入
7．7．2分數階微分和積分
7．7．3熱流量的分數階導數計算法――方法A
7．7．4基於爐牆熱場模擬模擬的熱流量計算法――方法B
7．7．5解法的比較
7．8有限部分積分與分數導數
7．8．1用分數導數進行有限部分積分計算
7．8．2用有限部分積分進行分數導數計算
第8章分數微分方程的數值求解
8．1初始條件：什麼問題需要求解？
8．2數值求解
8．3數值求解舉例
8．3．1弛豫-振盪方程
8．3．2定常係數方程：浸入平板的運動
8．3．3不定係數方程：流體中氣體溶解問題
8．3．4非線性問題：半無限體的輻射冷卻
8．4“短時記憶”原理在分數微分方程初值問題中的應用
第9章分數階系統與控制器
9．1分數階系統與分數階控制器
9．1．1分數階控制系統
9．1．2分數階傳輸函數
9．1．3米塔-列夫勒型新函數
9．1．4一般公式
9．1．5單位衝激響應與單位階躍響應
9．1．6一些特殊情形
9．1．7PIλDμ控制器
9．1．8開環系統響應
9．1．9閉環系統響應
9．2舉例
9．2．1分數階被控系統
9．2．2整數階逼近
9．2．3整數階PD控制器
9．2．4分數階控制器
9．3分數階系統辨識
9．4小結
第10章分數微積分的應用綜述
10．1阿貝爾積分方程
10．1．1一般要點備註
10．1．2一些方程可簡化為阿貝爾方程
10．2黏彈性力學
10．2．1整數階模型
10．2．2分數階模型
10．2．3分數微積分相關方法
10．3反饋放大器的伯德分析
10．4分數階電容器理論
10．5電路
10．5．1樹分抗
10．5．2鏈分抗與串分抗
10．5．3多孔堤壩的電路模擬模型
10．5．4Westerlund廣義分壓器
10．5．5分數階Chua-Hartley系統
10．6電分析化學
10．7電極-電解液界面
10．8分數多極點
10．9生物學
10．9．1生物系統的電導性
10．9．2神經元的分數階模型
10．10分數擴散方程
10．11控制理論
10．12實驗數據擬合
10．12．1經典回歸模型的缺點
10．12．2分數導數法
10．12．3舉例：Nizna Slana礦山鋼纜
10．13“分數階”物理學
附錄A分數導數表
註譯附錄A 分數微積算子、分抗與分抗逼近電路及其運算特徵
註譯附錄B Oldham分形鏈分抗逼近電路的輸入阻抗函數序列的求解方法
註譯附錄C 粗糙界面電極的電路建模與標度拓展――非正則標度方程
註譯附錄D 任意階分數算子的有理逼近――標度拓展與非正則標度方程
註譯附錄E 分數微積分的應用實現問題
中英文詞彙對照表
參考文獻
註譯參考文獻
註譯後記