算法筆記, 2/e

本書為《算法筆記》的第2版，本書介紹了若乾常見算法，既包括排序、哈希等基礎算法，也包括無約束優化、插值與擬合等數值計算方法。本書在介紹算法的同時，結合了作者自己對數學背景、應用場景的理解，便於讀者把握算法的核心思想。本書盡可能地避開了以應試為導向的灌輸式講解，力求引起讀者的興趣並擴大其視野，例如在介紹哈希時，講解瞭如何將哈希的算法思想運用於相似性搜索、負載均衡等多個實際問題中；又如在介紹高斯消去法時，講解了相關的數學理論及編程實現上的具體技巧，並將其運用於對大規模稀疏線性方程組的求解，等等。

第1 章 排序1
1.1 比較排序................................................................................................................ 1
1.1.1 梳排序.......................................................................................................... 2
1.1.2 堆排序.......................................................................................................... 4
1.1.3 歸並排序...................................................................................................... 5
1.1.4 快速排序...................................................................................................... 8
1.1.5 內省排序...................................................................................................... 10
1.1.6 Timsort ......................................................................................................... 11
1.2 非比較排序............................................................................................................. 14
1.2.1 桶排序.......................................................................................................... 14
1.2.2 基數排序...................................................................................................... 15
1.3 總結........................................................................................................................ 16
第2 章 哈希17
2.1 基本概念與實現..................................................................................................... 17
2.1.1 哈希函數...................................................................................................... 17
2.1.2 哈希表.......................................................................................................... 19
2.2 哈希的應用............................................................................................................. 20
2.2.1 相似性搜索.................................................................................................. 20
2.2.2 信息安全...................................................................................................... 23
2.2.3 比特幣.......................................................................................................... 25
2.2.4 負載均衡...................................................................................................... 26
第3 章 動態規劃與近似算法29
3.1 基本概念................................................................................................................ 29
3.1.1 動態規劃...................................................................................................... 29
3.1.2 計算復雜性.................................................................................................. 30
3.2 字符串的編輯距離................................................................................................. 30
3.2.1 問題引入...................................................................................................... 31
3.2.2 動態規劃算法............................................................................................... 33
3.2.3 滾動數組優化............................................................................................... 35
3.2.4 上界限制...................................................................................................... 36
3.2.5 解的回溯...................................................................................................... 37
3.2.6 分治算法...................................................................................................... 38
3.2.7 多個字符串的編輯距離............................................................................... 41
3.3 子集和問題............................................................................................................. 43
3.3.1 問題引入...................................................................................................... 43
3.3.2 子集和問題的動態規劃算法........................................................................ 43
3.3.3 最優化問題.................................................................................................. 44
3.3.4 滾動數組的技巧........................................................................................... 45
3.3.5 貪婪算法...................................................................................................... 46
3.3.6 鬆弛動態規劃............................................................................................... 47
3.3.7 相關問題...................................................................................................... 48
3.4 旅行商問題............................................................................................................. 50
3.4.1 問題引入...................................................................................................... 50
3.4.2 動態規劃算法............................................................................................... 52
3.4.3 一筆畫問題.................................................................................................. 52
3.4.4 Christofides 算法.......................................................................................... 54
3.4.5 Lin-Kernighan 算法...................................................................................... 55
3.5 總結........................................................................................................................ 58
第4 章 高斯消去法59
4.1 問題引入................................................................................................................ 59
4.2 矩陣編程基礎......................................................................................................... 60
4.3 三角方程組............................................................................................................. 62
4.3.1 三角矩陣...................................................................................................... 62
4.3.2 三角矩陣的存儲........................................................................................... 63
4.3.3 三角方程組求解........................................................................................... 64
4.4 高斯消去法............................................................................................................. 66
4.4.1 算法概述...................................................................................................... 66
4.4.2 高斯變換...................................................................................................... 68
4.4.3 LU 分解........................................................................................................ 69
4.4.4 Cholesky 分解............................................................................................... 70
4.5 主元選擇................................................................................................................ 71
4.5.1 列選主元...................................................................................................... 71
4.5.2 全選主元...................................................................................................... 73
4.5.3 主元與計算量............................................................................................... 74
4.6 稀疏矩陣的編程基礎............................................................................................. 75
4.6.1 稀疏向量...................................................................................................... 76
4.6.2 稀疏矩陣...................................................................................................... 79
4.7 稀疏LU 分解.......................................................................................................... 82
4.7.1 Markowitz 算法............................................................................................ 82
4.7.2 最小度算法.................................................................................................. 83
第5 章 圖論與線性規劃86
5.1 線性規劃基礎......................................................................................................... 86
5.1.1 Fourier Motzkin 消去法............................................................................... 89
5.1.2 基.................................................................................................................. 91
5.1.3 單純形方法.................................................................................................. 93
5.1.4 對偶.............................................................................................................. 95
5.2 全單模矩陣............................................................................................................. 98
5.2.1 關聯矩陣...................................................................................................... 98
5.2.2 全單模矩陣.................................................................................................. 99
5.2.3 全單模矩陣與圖論....................................................................................... 100
5.2.4 全單模矩陣與線性規劃............................................................................... 103
5.3 圖論中的經典問題................................................................................................. 104
5.3.1 單源最短路問題........................................................................................... 104
5.3.2 二分圖的最大匹配與最小覆蓋問題............................................................ 106
5.3.3 最大流與最小割問題................................................................................... 108
5.4 延伸閱讀................................................................................................................ 109
5.4.1 逐步線性規劃............................................................................................... 109
5.4.2 半正定規劃.................................................................................................. 111
第6 章 無約束優化113
6.1 單峰函數的最值..................................................................................................... 114
6.1.1 三分法.......................................................................................................... 115
6.1.2 對分法.......................................................................................................... 115
6.1.3 黃金分割法.................................................................................................. 116
6.1.4 小結.............................................................................................................. 117
6.2 無導數優化方法..................................................................................................... 118
6.2.1 模式搜索法.................................................................................................. 118
6.2.2 坐標下降法.................................................................................................. 119
6.2.3 代理模型法.................................................................................................. 120
6.3 導數優化方法......................................................................................................... 121
6.3.1 線搜索.......................................................................................................... 122
6.3.2 梯度下降法.................................................................................................. 123
6.3.3 共軛梯度法.................................................................................................. 124
6.3.4 牛頓法.......................................................................................................... 127
6.3.5 擬牛頓法...................................................................................................... 128
6.4 最小二乘................................................................................................................ 132
6.4.1 線性最小二乘............................................................................................... 133
6.4.2 非線性最小二乘........................................................................................... 133
第7 章 迭代法136
7.1 線性方程組的迭代法............................................................................................. 136
7.1.1 一階定常格式迭代法................................................................................... 136
7.1.2 Krylov 子空間算法....................................................................................... 142
7.1.3 無約束優化方法........................................................................................... 147
7.2 非線性方程組的迭代法.......................................................................................... 147
7.2.1 不動點迭代.................................................................................................. 148
7.2.2 Newton-Raphson 迭代.................................................................................. 149
7.2.3 無約束優化方法........................................................................................... 152
第8 章 插值與擬合153
8.1 插值........................................................................................................................ 153
8.1.1 常見的插值算法........................................................................................... 154
8.1.2 插值的應用.................................................................................................. 158
8.2 擬合........................................................................................................................ 163
8.2.1 常見的擬合算法........................................................................................... 164
8.2.2 擬合的應用.................................................................................................. 166
參考文獻169