微積分

目　　錄

第1章 函數 1
1.1 函數的概念 1
1.1.1 區間與鄰域 1
1.1.2 函數的概念 2
1.1.3 函數的幾種特性 4
習題1.1 6
1.2 反函數與復合函數 7
1.2.1 反函數 7
1.2.2 復合函數 9
習題1.2 10
1.3 基本初等函數、初等函數 10
1.3.1 基本初等函數 10
1.3.2 初等函數 14
習題1.3 14
1.4 常用經濟函數及其應用 14
1.4.1 單利與復利 15
1.4.2 需求函數、供給函數
與市場均衡 15
習題1.4 19
習題1 20
第2章 極限與連續 22
2.1 數列的極限 22
2.1.1 數列極限的定義 22
2.1.2 數列極限的性質 25
2.2 函數的極限 27
2.2.1 函數極限的定義 27
2.2.2 函數極限的主要性質 31
習題2.2 31
2.3 無窮小與無窮大 32
2.3.1 無窮小 32
2.3.2 無窮大 34
2.3.3 無窮大與無窮小的
關系 35
習題2.3 36
2.4 函數的極限 36
2.4.1 函數極限的四則
運算法則 36
2.4.2 復合函數極限的
運算法則 38
習題2.4 39
2.5 極限的存在準則及兩個
重要極限 40
2.5.1 極限的存在準則 40
2.5.2 兩個重要極限 43
習題2.5 46
2.6 無窮小的比較 47
習題2.6 49
2.7 函數的連續性 49
2.7.1 函數的連續性 49
2.7.2 連續函數的運算與
初等函數的連續性 51
2.7.3 函數的間斷點 53
2.7.4 閉區間上連續函數的
性質 54
習題2.7 55
習題2 56
第3章 導數與微分 60
3.1 導數的概念 60
3.1.1 引例 60
3.1.2 導數的定義 61
3.1.3 單側導數 63
3.1.4 導數的幾何意義 64
3.1.5 函數的可導性與
連續性的關系 64
習題3.1 65
3.2 函數的求導法則 66
3.2.1 導數的四則運算法則 66
3.2.2 反函數的導數 68
3.2.3 復合函數的求導法則 69
3.2.4 初等函數求導法則
小結 71
習題3.2 71
3.3 高階導數 72
3.3.1 高階導數的定義 72
習題3.3 75
3.4 隱函數及由參數方程所確定
的函數的導數 75
3.4.1 隱函數求導 75
3.4.2 由參數方程所確定的
函數的導數 77
習題3.4 78
3.5 函數的微分 79
3.5.1 微分的定義 79
3.5.2 微分的幾何意義 81
3.5.3 微分的運算法則及基本
初等函數的微分公式 81
3.5.4 微分在近似計算中的
應用 84
習題3.5 85
3.6 邊際分析和彈性分析 85
3.6.1 邊際分析 85
3.6.2 彈性分析 87
習題3.6 89
習題3 90
第4章 微分中值定理與導數的應用 93
4.1 微分中值定理 93
習題4.1 97
4.2 洛必達法則 97
4.2.1 型未定式 98
4.2.2 型未定式 100
4.2.3 其他類型的未定式
（、、、
、） 102
習題4.2 103
4.3 泰勒公式 104
習題4.3 108
4.4 函數的單調性與極值 108
4.4.1 函數的單調性 108
4.4.2 函數的極值 111
習題4.4 114
4.5 最優化問題 114
4.5.1 閉區間上連續函數的
最值 114
4.5.2 在經濟學中的應用
舉例 116
習題4.5 117
4.6 曲線的凹凸性與拐點 117
4.6.1 曲線的凹凸性 117
習題4.6 120
4.7 函數圖形的描繪 120
4.7.1 曲線的漸近線 120
4.7.2 函數圖形的描繪 122
習題4.7 123
習題4 124
第5章 不定積分 127
5.1 不定積分的概念與性質 127
5.1.1 原函數 127
5.1.2 不定積分的概念 128
5.1.3 基本積分表 129
5.1.4 不定積分的性質 129
習題5.1 131
5.2 換元積分法 131
5.2.1 第一類換元法
（湊微分法） 131
5.2.2 第二類換元法 134
習題5.2 138
5.3 分部積分法 139
習題5.3 142
5.4 有理函數及可化為有理
函數的積分 143
5.4.1 有理分式的分解 143
5.4.2 有理函數的積分 145
5.4.3 可化為有理函數的
積分 146
習題5.4 148
習題5 149
第6章 定積分 151
6.1 定積分概念與性質 151
6.1.1 定積分問題舉例 151
6.1.2 定積分的定義 153
6.1.3 定積分的幾何意義 154
6.1.4 定積分的性質 154
習題6.1 157
6.2 微積分學基本公式 157
6.2.1 積分上限的函數及其
導數 158
6.2.2 微積分學基本公式 159
習題6.2 160
6.3 定積分的換元積分法和分部
積分法 161
6.3.1 換元積分法 161
6.3.2 定積分的分部積分法 164
習題6.3 166
6.4 定積分的應用 167
6.4.1 定積分的微元法 167
6.4.2 平面圖形的面積 168
6.4.3 旋轉體的體積 171
6.4.4 平行截面面積為已知的
立體體積 173
6.4.5 定積分在經濟學中的
應用舉例——由邊際
函數求總函數 174
習題6.4 175
6.5 反常積分 175
6.5.1 無窮區間上的
反常積分 176
6.5.2 無界函數的反常積分 178
習題6.5 180
習題6 180
第7章 多元函數微分學 184
7.1 空間解析幾何初步 184
7.1.1 空間直角坐標系 184
7.1.2 空間中兩點間的距離 185
7.1.3 空間曲面與空間曲線 185
習題7.1 190
7.2 多元函數及其極限 190
7.2.1 平面點集的概念 190
7.2.2 多元函數的概念 192
7.2.3 多元函數的極限 193
7.2.4 多元函數的連續性 195
習題7.2 196
7.3 偏導數與全微分 197
7.3.1 偏導數的定義及
計算法 197
7.3.2 偏導數的幾何意義 200
7.3.3 高階偏導數 200
7.3.4 全微分 201
習題7.3 205
7.4 多元復合函數與隱函數的
微分法 206
7.4.1 多元復合函數微分法 206
7.4.2 全微分形式不變性 210
7.4.3 隱函數微分法 210
習題7.4 213
7.5 多元函數的極值及其應用 214
7.5.1 二元函數的極值 214
7.5.2 二元函數的最大值與
最小值 216
7.5.3 條件極值與拉格朗日
乘數法 217
習題7.5 220
習題7 221
第8章 二重積分 224
8.1 二重積分的概念與性質 224
8.1.1 二重積分的概念 224
8.1.2 二重積分的性質 226
習題8.1 227
8.2 直角坐標系下二重積分的
計算 228
8.2.1 直角坐標系下二重
積分的計算 228
8.2.2 交換二次積分順序 232
8.2.3 利用對稱性和奇偶性
化簡二重積分的計算 233
8.2.4 二重積分的幾何應用 234
習題8.2 235
8.3 極坐標系下二重積分的計算 236
習題8.3 239
習題8 239
第9章 無窮級數 242
9.1 常數項級數的概念和性質 242
9.1.1 常數項級數的概念 242
9.1.2 常數項級數的基本
性質 245
習題9.1 247
9.2 常數項級數的審斂法 248
9.2.1 正項級數及其審斂法 248
9.2.2 交錯級數及其審斂法 254
9.2.3 絕對收斂與條件收斂 255
習題9.2 257
9.3 冪級數 258
9.3.1 函數項級數的概念 258
9.3.2 冪級數及其收斂性 260
習題9.3 265
9.4 函數展開為冪級數 266
9.4.1 泰勒級數 266
9.4.2 函數展開為冪級數 268
習題9.4 271
9.5 級數的應用 271
9.5.1 農夫分牛問題 271
9.5.2 近似計算 272
9.5.3 經濟中的應用 274
習題9.5 276
習題9 276
第10章 微分方程與差分方程 279
10.1 微分方程的基本概念 279
10.1.1 引例 279
10.1.2 基本概念 279
習題10.1 282
10.2 一階微分方程 282
10.2.1 可分離變量的微分
方程 282
10.2.2 齊次方程 284
10.2.4 一階線性微分方程 286
習題10.2 289
10.3 高階微分方程 289
10.3.1 幾類可降階的高階微分
方程 289
10.3.2 二階線性微分方程解的
性質與結構 291
10.3.3 二階常系數線性微分
方程的解法 294
習題10.3 301
10.4 差分方程的基本概念 302
10.4.1 差分的概念與性質 302
10.4.2 差分方程的概念 303
習題10.4 304
10.5 一階和二階常系數線性差分
方程 305
10.5.1 一階常系數線性差分
方程 305
10.5.2 二階常系數線性差分
方程 308
10.5.3差分方程在經濟中的
應用 310
習題10.5 313
習題10 314
附錄 微積分運算命令與例題 316