網絡空間安全數學基礎：原理與實踐

第1章 矩陣 1
1.1 線性問題矩陣化 1
1.2 線性方程組解的兩個視角 4
1.2.1 矩陣乘法的幾何意義 4
1.2.2 矩陣的列空間 5
1.3 列主元高斯消元法 9
1.4 矩陣的LU分解 11
1.5 最小二乘法與正規方程組 13
1.6 矩陣的秩-1分解 18
習題 26
第2章 範數、距離與相似度 27
2.1 向量的範數 27
2.2 矩陣的範數 29
2.3 向量範數與矩陣範數的相容性 30
2.4 距離 31
2.5 相似度 34
2.6 量綱歸一化 44
習題 46
第3章 最優化理論與方法 47
3.1 凸集和凸函數 47
3.2 最優化方法的基本結構 50
3.3 最優化方法解的充分/必要條件 51
3.4 拉格朗日乘子法 54
3.5 步長因子的選取 55
3.6 搜索方向的選取 60
3.7 線性方程組的疊代求解法 66
3.7.1 雅可比與高斯-賽德爾疊代法 66
3.7.2 逐次超松弛疊代法 68
3.7.3 最優化法 69
習題 72
第4章 概率論 73
4.1 概率論的基本概念 73
4.2 常用隨機變量及其分布 77
4.3 最大似然估計 82
4.4 散列法與Bloom過濾器 83
4.4.1 生日悖論 83
4.4.2 散列法 84
4.4.3 Bloom過濾器 85
4.5 貝葉斯推理 88
4.5.1 樸素貝葉斯決策論 88
4.5.2 樸素貝葉斯分類步驟 89
4.6 信息熵與決策樹 93
4.6.1 信息熵 93
4.6.2 信息熵與決策樹分類 97
4.7 差分隱私基礎 102
4.8 隨機幾何理論 106
4.8.1 基本概念 106
4.8.2　空間點過程 107
4.8.3　空間點過程的性質 108
習題 112
第5章　狀態轉移概率矩陣 114
5.1　隨機過程的基本概念 114
5.2 馬爾可夫過程 116
5.3 離散時間馬爾可夫鏈的性質 120
5.3.1 互通性 120
5.3.2 不可約性 121
5.3.3 周期性 122
5.3.4 常返性 123
5.3.5 遍歷性 123
5.3.6 穩定狀態分布 125
5.4　PageRank與狀態轉移概率矩陣 126
5.5 隱馬爾可夫模型 132
5.5.1 隱馬爾可夫模型的三要素與三
假設 133
5.5.2 隱馬爾可夫模型的3個經典
問題 135
習題 146
第6章 整數與同余 148
6.1 整數與帶余數除法 148
6.2 最大公因數 151
6.3 歐幾裏得算法 152
6.4 整數分解 154
6.5 同余 157
6.6 線性同余式 160
6.7 中國剩余定理 162
6.8 威爾遜定理、費馬小定理與歐拉定理 163
6.9 擴展閱讀 165
習題 169
第7章 數論函數 172
7.1 積性函數 172
7.2 除數函數 172
7.3 高斯函數 174
7.4 歐拉函數 176
7.5 莫比烏斯函數 178
7.6 默森尼數、費馬數 180
7.7 擴展閱讀 182
習題 182
第8章 二次剩余 184
8.1 二次剩余的基本概念 184
8.2 勒讓德符號 185
8.3 高斯二次互反定律 188
8.4 雅可比符號 189
8.5 二次同余式的解法和解數 193
8.6 擴展閱讀 195
習題 197
第9章 原根與指數 199
9.1 整數的階 199
9.2 原根的基本概念 201
9.3 原根的存在性 204
9.4 原根的求解 207
9.5 指數 208
習題 211
第10章 群、環、域 212
10.1 群的定義 212
10.2 子群、陪集與拉格朗日定理 215
10.3 群同態 218
10.4 環與域 225
10.5 多項式環 229
10.6 整環中的因子分解 231
10.7 由整環構造域 236
10.8 擴展閱讀 240
習題 241
第11章 有限域 243
11.1 有限域的加法結構 243
11.2 有限域的乘法結構 244
11.3 本原元 247
11.4 最小多項式與本原多項式 250
11.5 擴展閱讀 255
習題 260
第12章 橢圓曲線基礎 261
12.1 橢圓曲線上的群運算 261
12.2 橢圓曲線上的離散對數 264
習題 266
第13章 模 267
13.1 模 267
13.2 子模的直和 268
13.3 模的生成集與自由模 269
13.4 商模和模同態 271
13.5 域與環上的矩陣 272
13.6 主理想整環上的矩陣與模 276
習題 282
參考文獻 283