實分析(精)

葉培新 魏秀傑

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商品描述

伊萊亞斯M.斯坦恩、拉米·沙卡什著的《實分析》為普林斯頓分析譯叢中的第三冊實分析，內容分為測度論、積分以及希爾伯特空間三部分。第1章測度論：給出勒貝格測度的構造，進而定義了可測函數。第2章積分理論：給出勒貝格積分的定義、性質以及一些收斂定理，解決了引言中關於連續函數的極限的問題。第3章微分與積分：通過引入極大函數、有界變差函數以及絕對連續函數等概念對微分與積分的對應關系做了系統的闡述。第4章希爾伯特空間簡介：在引入正交、投影等基本概念之後，講解了希爾伯特空間與傅裏葉級數以及覆分析的聯系。第5章希爾伯特空間：對幾個重要的希爾伯特空間進行了深入的探討。第6章抽象測度和積分理淪：在一般的測度空間上建立積分理論，這使得實分析的理論變得清晰簡明。第7章豪斯多夫測度和分形：介紹豪斯多夫測度與豪斯多夫維數，之後研究了填滿空間的曲線。 本書可作為數學專業高年級本科生或研究生的實分析教材，同時也可作為相關科研人員的參考書。

作者簡介

Elias M.Stein，著名數學家，美國普林斯頓大學終身教授，美國國家科學院院士，美國文理學院院士，沃爾夫獎獲得者。他是當代分析，特別是調和分析領域的領袖人物之一。由於在該研究領域的突出貢獻，Elias M.Stein榮獲1984年美國數學會的Steele獎，1993年獲得瑞士科學院頒發的Schock獎，他的許多著作成為影響學科發展的重要參考文獻。

目錄大綱

譯者序
前言
引言
1 傅裏葉級數：完備化
2 連續函數的極限
3 曲線的長度
4 微分與積分
5 測度問題
第1章 測度論
1 預備知識
2 外測度
3 可測集與勒貝格測度
4 可測函數
4.1 定義與基本性質
4.2 用簡單函數或階梯函數逼近
4.3 李特爾伍德三大原理
5 Brunn-Minkowski不等式
6 習題
7 問題
第2章 積分理論
1 勒貝格積分：基本性質與收斂定理
2 可積函數空間F
3 Fubini定理
3.1 定理的敘述與證明
3.2 Fubini定理的應用
4 傅裏葉反演公式
5 習題
6 問題
第3章 微分與積分
1 積分的微分
1.1 哈代一李特爾伍德極大函數
1.2 勒貝格微分定理
2 好的核與恒同逼近
3 函數的可微性
3.1 有界變差函數
3.2 絕對連續函數
3.3 跳躍函數的可微性
4 可求長曲線與等周不等式
4.1 曲線的閔可夫斯基容量
4.2 等周不等式
5 習題
6 問題
第4章 希爾伯特空間簡介
1 希爾伯特空間L2
2 希爾伯特空間
2.1 正交性
2.2 酉映射
2.3 準希爾伯特空間
3 傅裏葉級數與法圖定理
3.1 法圖定理
4 閉子空間與正交投影
5 線性變換
5.1 線性泛函與裏斯表示定理
5.2 伴隨
5.3 例子
6 緊算子
7 習題
8 問題
第5章 希爾伯特空間：幾個例子
1 L2上的傅裏葉變換
2 關於上半平面的哈代空間
3 常系數偏微分方程
3.1 弱解
3.2 主要定理和關鍵估計
4 狄利克雷原理
4.1 調和函數
4.2 邊值問題和狄利克雷原理
5 習題
6 問題
第6章 抽象測度和積分理論
1 抽象測度空間
1.1 外測度與卡拉泰奧多裏定理
1.2 度量外測度
1.3 延拓定理
2 測度空間上的積分
3 例子
3.1 乘積測度和一般的Fubini定理
3.2 極坐標的積分公式
3 3R上的博雷爾測度和勒貝格一靳蒂爾切斯積分
4 測度的絕對連續性
4.1 帶號測度
4.2 絕對連續性
5 遍歷定理
5.1 平均遍歷定理
5.2 極大遍歷定理
5.3 逐點遍歷定理
5.4 遍歷保測變換
6 附錄：譜定理
6.1 定理的敘述
6.2 正算子
6.3 定理的證明
6.4 譜
7 習題
8 問題
第7章 豪斯多夫測度和分形
1 豪斯多夫測度
2 豪斯多夫維數
2.1 例子
2.2 自相似
3 空間填充曲線
3.1 四次區間和二進正方形
3.2 二進對應
3.3 佩亞諾映射的構造
4 Besicovitch集和正則性
4.1 拉東變換
4.2 當d≥3時集合的正則性
4.3 Besicovitch集有維數2
4.4 Besicovitch集的構造
5 習題
6 問題
註記和參考
符號索引
參考文獻

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