微分方程及邊界值問題 計算和建模 原書第6版

譯者序

前言

應用模塊

第 1 章 一階微分方程　　　1

1.1 微分方程與數學模型　　 1

習題　　　　　 9

1.2 作為通解和特解的積分　　11

習題　　　　　 17

1.3 斜率場和解曲線　　　20

習題　　　　　 28

應用 計算機生成的斜率場和解

曲線　　　　32

1.4 可分離變量方程及其應用 34

習題　　　　　 46

應用 logistic 方程　　　51

1.5 一階線性微分方程　　 52

習題　　　　　 61

應用 室內溫度振蕩　　 64

1.6 替換法和恰當方程　　 66

習題　　　　　 81

應用 計算機代數求解法　83

第 1 章 總結　　　　85

第 1 章 覆習題　　　86

第 2 章 數學模型與數值方法　　87

2.1 種群模型　　　87

習題　　　　　 95

應用 種群數據的 logistic 建模　99

2.2 平衡解與穩定性　　101

習題　　　　　108

2.3 加速度–速度模型　　 111

習題　　　　　118

應用 火箭推進　　 121

2.4 數值近似：Euler 法　　124

習題　　　　　133

應用 Euler 法的實現　　135

2.5 對 Euler 法的深入研究　 137

習題　　　　　144

應用 改進的 Euler 法的實現　145

2.6 Runge–Kutta 法　　 148

習題　　　　　155

應用 Runge–Kutta 法的實現　157

第 3 章 高階線性方程　　　160

3.1 二階線性方程簡介　　 160

習題　　　　　171

應用 繪制二階解曲線族　 173

3.2 線性方程的通解　　175

習題　　　　　184

應用 繪制三階解曲線族　 187

3.3 常系數齊次方程　　188

習題　　　　　197

應用 線性方程的近似解法　 198

3.4 機械振動　　　　199

XII

習題　　　　　209

3.5 非齊次方程與待定系數法 212

習題　　　　　224

應用 常數變易法的自動實現　225

3.6 受迫振動與共振　　226

習題　　　　　236

應用 受迫振動　　 238

3.7 電路　　　　 240

習題　　　　　246

3.8 端點問題與特征值　　 248

習題　　　　　260

第 4 章 微分方程組簡介　 262

4.1 一階方程組及其應用　　262

習題　　　　　271

應用 萬有引力與開普勒行星

運動定律　　 273

4.2 消元法　　　　275

習題　　　　　282

應用 方程組的計算機代數解法285

4.3 方程組的數值解法　　 286

習題　　　　　296

應用 彗星與航天器　　 298

第 5 章 線性微分方程組　 302

5.1 矩陣與線性方程組　　 302

習題　　　　　319

應用 線性方程組的自動求解　321

5.2 齊次方程組的特征值法　 322

習題　　　　　335

應用 特征值和特征向量的自動

計算　　　　337

5.3 線性方程組的解曲線圖集 338

習題　　　　　362

應用 動態相平面圖形　 365

5.4 二階方程組及其機械應用 368

習題　　　　　378

應用 由地震引發的多層建築的

振動　　　　381

5.5 多重特征值解　　　383

習題　　　　　397

應用 有缺陷特征值與廣義特征

向量　　　　399

5.6 矩陣指數與線性方程組　 401

習題　　　　　412

應用 矩陣指數解的自動計算　414

5.7 非齊次線性方程組　　 416

習題　　　　　424

應用 常數變易法的自動實現　425

第 6 章 非線性系統與現象　　427

6.1 穩定性與相平面　　427

習題　　　　　437

應用 相軌線圖與一階方程　 438

6.2 線性及準線性方程組　　440

習題　　　　　448

應用 準線性方程組的相軌線圖451

6.3 生態模型：捕食者與競爭者　453

習題　　　　　463

應用 你自己的野生動物保護區.467

6.4 非線性機械系統　　468

習題　　　　　480

應用 Rayleigh 方程、van der Pol方

程和 FitzHugh-Nagumo 方程，

SIR 模型和 COVID-19　482

6.5 動力系統中的混沌　　 493

XIII

第 7 章 Laplace 變換法　　 507

7.1 Laplace 變換與逆變換　507

習題　　　　　516

應用 計算機代數變換與逆變換517

7.2 初值問題的變換　　518

習題　　　　　529

應用 初值問題的變換　 530

7.3 變換與部分分式　　531

習題　　　　　539

應用 阻尼與共振研究　 540

7.4 變換的導數、積分和乘積 542

習題　　　　　549

7.5 周期分段連續輸入函數　 550

習題　　　　　560

應用 工程函數　　 563

7.6 脈沖與 δ 函數　　564

習題　　　　　572

第 8 章 冪級數法　　　 575

8.1 冪級數簡介與回顧　　 575

習題　　　　　587

8.2 常點附近的級數解　　 588

習題　　　　　596

應用 級數系數的自動計算　 599

8.3 正則奇點　　　　601

習題　　　　　613

應用 Frobenius 級數法的自動

實現　　　　616

8.4 Frobenius 法：例外情況　 617

習題　　　　　630

應用 采用降階法處理例外情況　632

8.5 Bessel 方程　　　 633

習題　　　　　642

8.6 Bessel 函數的應用　　 644

習題　　　　　647

應用 Riccati 方程與修正 Bessel

函數　　　　649

第 9 章 Fourier 級數法與偏微分

方程　　　　 653

9.1 周期函數與三角級數　　653

習題　　　　　661

9.2 一般 Fourier 級數及其收斂性 662

習題　　　　　667

應用 Fourier 系數的計算機代數

計算　　　　669

9.3 Fourier 正弦與余弦級數　 670

習題　　　　　679

應用 分段光滑函數的 Fourier

級數　　　　682

9.4 Fourier 級數的應用　　684

習題　　　　　690

9.5 熱傳導問題與變量分離法 691

習題　　　　　702

應用 對加熱棒的研究　 704

9.6 振動弦與一維波動方程　 706

習題　　　　　716

應用 對振動弦的研究　 719

9.7 穩態溫度與 Laplace 方程　722

習題　　　　　730

第 10 章 特征值方法與邊界值問題　734

10.1 Sturm–Liouville 問題與特征

函數展開法　　　 734

習題　　　　　743

應用 數值特征函數展開法　 745

10.2 特征函數級數的應用　　747

習題　　　　　755

應用 對熱流的數值研究　 757

XIV

10.3 穩態周期解與固有頻率 759

習題　　　　　765

應用 振動梁與跳板　　 767

10.4 柱坐標問題　　　 769

習題　　　　　780

應用 Bessel 函數與加熱圓柱體783

10.5 高維現象　　　 785

參考資料　　　　　804