數學拾光：線性代數漫步

王前豹

數學拾光：線性代數漫步

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商品描述

本書系統展示了線性代數的宏大知識體系，深刻而清晰地講解了線性代數相關概念與知識點，搭建了通往現代數學的大門。全書包含線性方程組、數域、向量空間、線性映射、矩陣、整數與多項式、內積空間、線性映射的分解、矩陣分解二次型、行列式等內容。為適應現代數學發展，本書還撰寫了張量代數、外代數章節。對於每一個章節板塊，都系統性地梳理相關概念並做了知識延伸。譬如，關於“秩”的概念，將以下概念串聯起來：線性方程組的秩、矩陣的行秩、列秩、矩陣的秩；矩陣分解章節，敘述了QR分解、譜定理、奇異值分解、Jordan分解等十多種分解定理；行列式章節，從determinant的詞源含義出發，結合計算機與基礎代數學的群論角度去刻畫其定義，同時論證了難度較大的Binet-Cauchy公式與Laplace公式。本書提供了大量的實例，讓讀者可以觸碰概念背後的溫度。同時，每個概念都提供嚴格的英文對照，中英文索引可幫助讀者快速定位知識點、查找資料！這是一本可以陪伴終生的教科書，適合廣大理工科同學及數學愛好者反復閱讀，同時也可作為一本教師手冊，為開拓學生視野、教學改革等提供知識經驗！

目錄大綱

第1章 從線性方程組談起1
1.1 生活中的線性關系
1.2 線性方程組
1.3 線性方程組的矩陣表示
1.4 幾何視角下的線性方程組
第2章 向量空間11
2.1 實數集上的向量空間
2.2 數集的擴充
2.3 一般數域上的向量空間
2.4 線性相關、線性無關、線性張成
2.5 向量空間的基和維數
2.6 子空間
2.7 子空間的和及維數公式
2.8 商集與商空間
第3章 線性方程組的解43
3.1 線性方程組的秩
3.2 齊次線性方程組的解空間
3.3 向量組的秩及矩陣的行秩、列秩
3.4 非齊次線性方程組的解集
3.5 補充概念
第4章 線性映射60
4.1 二元對立統一
4.2 映射
4.3 線性映射
4.3.1 平面R2上的旋轉
4.3.2 空間R3上的投影
4.3.3 多項式空間R[x]上的求導
4.4 線性映射的加法、乘法與數乘
4.5 線性同構
第5章 線性映射的表示及矩陣的運算75
5.1 線性映射的矩陣表示
5.2 矩陣的運算
5.2.1 矩陣的加法
5.2.2 矩陣的數乘
5.2.3 矩陣的乘法
5.3 矩陣運算的規律
5.4 研究線性映射的利器
5.5 矩陣乘法的其他視角
5.5.1 視角二（分塊矩陣及其乘法）
5.5.2 視角三
5.5.3 視角四
5.5.4 視角五
5.5.5 視角六
5.5.6 視角七
5.5.7 視角八
5.5.8 視角九
5.6 最簡代數系統——群
第6章 線性變換的對角化98
6.1 矩陣的簡化
6.1.1 簡化線性方程組
6.1.2 簡化二次曲面方程
6.1.3 簡化線性映射的矩陣表示
6.2 特征向量、特征子空間、不變子空間
6.3 基變換
6.4 線性變換的三角化與對角化
6.5 線性變換的可三角化條件
6.6 線性變換可對角化條件之一
6.7 子空間的直和
6.8 線性變換可對角化條件之二
第7章 線性變換的特征多項式126
7.1 線性變換的多項式
7.2 核空間與像空間
7.3 復線性變換的上三角化
7.4 復線性變換的特征多項式
7.5 實線性變換的三角化
7.6 實線性變換的特征多項式
7.6.1 低維實線性變換的特征多項式
7.6.2 高維實線性變換的特征多項式
7.7 線性變換可對角化條件之三
7.8 Hamilton-Cayley定理
第8章 整數與多項式172
8.1 多項式
8.2 多項式的整除關系
8.3 最大公因式與最小公倍式
8.4 實數域上的不可約多項式
8.5 復數域上的不可約多項式
8.6 有理數域上的多項式
8.7 重因式
8.8 中國剩余定理
第9章 數學基礎知識：矩陣209
9.1 矩陣的運算
9.2 矩陣的正則映射與正則約定
9.3 矩陣的特征值與特征向量
9.4 矩陣的最小多項式
9.5 特殊矩陣
9.6 矩陣的秩
9.7 矩陣的跡
9.8 相似矩陣
9.9 矩陣的合同
9.1 矩陣的相抵
9.11 矩陣的分解
9.11.1 可逆矩陣的初等分解
9.11.2 LU分解
9.11.3 QR分解
9.11.4 譜定理
9.11.5 SVD分解
9.11.6 極分解
9.11.7 Jordan分解
9.11.8 Schur分解
9.11.9 Cholesky分解、LDL分解
9.11.10 Hessenberg分解、Householder變換
9.11.11 Hermite分解
9.11.12 Smith分解
9.11.13 其他分解
第10章 線性變換可對角化與最小多項式的關系297
10.1 線性變換的最小多項式
10.2 線性變換可對角化與最小多項式的關系
10.3 同時三角化、同時對角化
第11章 實內積空間314
11.1 Rn中向量的長度
11.2 R3上的點積
11.3 雙線性函數
11.3.1 度量矩陣
11.3.2 雙線性型的分類
11.4 範數空間
11.5 內積與全範數的關系
11.6 歐幾裏得空間
11.6.1 Rn
11.6.2 標準正交基、Gram-Schmidt正交化
11.6.3 歐幾裏得空間的同構
11.6.4 勾股定理
11.6.5 Cauchy-Schwarz不等式
11.6.6 正交補、正交投影
11.6.7 正交變換
11.6.8 正交變換的對角化
第12章 復內積空間358
12.1 尋找復內積
12.2 復內積的度量矩陣
12.3 復向量空間上的範數
12.4 標準正交基
12.5 標準復內積空間Cn
12.6 基變換
12.7 正交投影
12.8 酉變換
12.9 伴隨變換、正規變換、自伴變換
12.1 譜定理
12.11 補充概念
12.11.1 辛型與辛空間
12.11.2 Gram矩陣
12.11.3 Cayley變換
12.11.4 Pauli矩陣
12.11.5 吉文斯變換
12.11.6 其他
第13章 線性映射的分解395
13.1 極分解
13.1.1 起源
13.1.2 正規變換的極分解
13.1.3 可逆變換的極分解
13.1.4 線性變換的極分解
13.2 奇異值分解
13.3 Jordan分解
13.4 Jordan-Chevalley分解
13.5 Schur分解
13.6 Hessenberg分解
第14章 二次型436
14.1 二次曲線的形狀
14.2 二次曲面的形狀
第15章 數學基礎知識：行列式443
15.1 行列式的起源
15.2 行列式的基本性質
15.3 行列式的本質
15.4 行列式相關符號
15.5 Binet-Cauchy公式
15.6 Laplace定理
15.7 置換與逆序
15.8 特征多項式的行列式表示
15.9 特殊行列式
第16章 張量簡析486
16.1 對偶空間
16.2 不依賴於基的同構
16.3 線性函數的張量積
16.4 向量空間的張量積
16.5 V?U和U?V的自然同構
16.6 向量空間基域的擴張
16.7 線性變換的張量積
16.8 多重線性映射
16.9 對稱代數
第17章 線性代數的應用522
17.1 不動點定理
17.2 最小二乘解
17.3 不等式
17.4 求數列通項
17.5 因式分解
17.6 空間曲線的切線及法平面
17.7 點到平面的距離
17.8 點到直線的距離
17.9 直線到直線的距離
17.1 Menelaus定理與Ceva定理
17.11 雜例集錦
附錄A 代數基本定理的證明548
索引 550

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