矩陣理論教程

主要符號表
第一章 線性代數概要
本章提要
第一節 矩陣運算
1.1.1 線性組合與矩陣乘法
1.1.2 數字特征與分塊矩陣
1.1.3 張量積與線性矩陣方程
第二節 矩陣與線性方程組
1.2.1 相容線性方程組與矩陣子空間
1.2.2 矛盾方程組與最小二乘法
1.2.3 正交化方法與投影矩陣
第三節 相似對角化與特征值
1.3.1 線性微分方程組與相似對角化
1.3.2 特征值與特征向量
1.3.3 正交對角化與二次型
第四節 應用
1.4.1 圖與矩陣
1.4.2 隨機變量的獨立性
1.4.3 曲線擬合
1.4.4 華為核心技術極化碼
習題一
第二章 線性空間與線性變換
本章提要
第一節 線性空間
2.1.1 定義與例子
2.1.2 基、維數、坐標
2.1.3 線性空間的同構
2.1.4 過渡矩陣與坐標變換
第二節 子空間、直和分解與分塊矩陣
2.2.1 子空間
2.2.2 子空間的運算：交、和與直和
2.2.3 直和分解與分塊矩陣
第三節 線性變換與矩陣
2.3.1 線性變換的定義與例子
2.3.2 線性變換的核與像
2.3.3 線性變換的矩陣
第四節 線性代數基本定理
第五節 內積空間、投影與等距變換
2.5.1 內積與長度
2.5.2 內積與正定矩陣
2.5.3 正交補與投影
2.5.4 酉矩陣與等距變換
第六節 張量積
2.6.1 線性空間的（外）直和
2.6.2 線性空間的張量積
2.6.3 線性變換的張量積
2.6.4 實線性空間與覆線性空間的轉化
第七節 商空間
2.7.1 等價關系
2.7.2 商空間與張量積
第八節 應用
2.8.1 廣義相對論
2.8.2 濾波與移動通信
2.8.3 度量與任意矩陣的行列式
習題二
第三章 Jordan標準形與特征值問題
本章提要
第一節 Schur三角化定理
3.1.1 Schur酉三角化定理
3.1.2 分塊Schur三角化定理
3.1.3 酉三角化定理
第二節 Jordan標準形
3.2.1 冪零矩陣的Jordan標準形
3.2.2 Jordan標準形定理
3.2.3 中國剩餘定理與Jordan-Chevalley分解
第三節 Jordan標準形的其他理論
3.3.1 λ矩陣
3.3.2 廣義特征子空間
第四節 特征值估計
3.4.1 蓋爾圓盤定理
3.4.2 特征值的極值與不等式
第五節 應用
3.5.1 隨機矩陣
3.5.2 PageRank算法
習題三
第四章 矩陣分解與應用
本章提要
第一節 正規矩陣與譜分解
4.1.1 正規矩陣
4.1.2 正規矩陣的譜分解
4.1.3 單純矩陣的譜分解
第二節 三角分解與Cholesky分解
4.2.1 三角分解
4.2.2 Cholesky分解
第三節 QR分解
第四節 奇異值分解與極分解
4.4.1 奇異值分解
4.4.2 極分解
第五節 應用
4.5.1 QR分解的應用
4.5.2 奇異值分解的應用
習題四
第五章 賦範線性空間與矩陣微積分
本章提要
第一節 賦範線性空間
5.1.1 賦範線性空間
5.1.2 單位球與範數的等價
第二節 賦範矩陣空間
第三節 矩陣級數與矩陣函數
5.3.1 矩陣的冪收斂
5.3.2 矩陣級數
5.3.3 矩陣函數
第四節 一元矩陣函數的微積分
5.4.1 定義與基本性質
5.4.2 一元矩陣函數的計算
第五節 多元矩陣函數的導數
5.5.1 多元矩陣函數的導數與Jacobian行列式
5.5.2 多元矩陣函數導數的應用
第六節 應用I：範數與矩陣近似
5.6.1 低秩近似與Schmidt-Eckart-Young-Mirsky定理
5.6.2 核範數與矩陣完備化
第七節 應用II：矩陣函數的導數與常微分方程組
5.7.1 線性常微分方程組
5.7.2 線性系統的可控性與可測性
習題五
第六章 廣義逆矩陣與非負矩陣
本章提要
第一節 廣義逆矩陣
6.1.1 Moore-Penrose廣義逆
6.1.2 Moore-Penrose廣義逆的計算
第二節 其他各類廣義逆
6.2.1 {1}逆
6.2.2 {(1,k)}逆，k=2,3,4
第三節 非負矩陣與Perron-Frobenius定理
6.3.1 Perron-Frobenius定理
6.3.2 應用：投入產出模型與商品定價理論
第四節 廣義逆矩陣的應用
6.4.1 線性方程組的解的符號表示
6.4.2 網絡流量矩陣估算
習題六
附錄 上海交通大學2015—2016學年第一學期“矩陣理論”試題
參考文獻
索引