人人可懂的微積分——用動態、微觀、累加的觀點來看待微積分

鄧子雲，長沙商貿旅遊職業技術學院副校長、博士、博士後、教授。主持過教育部重點課題、湖南省社科基金重大課題等省級以上重大、重點科研項目8項，縱向、橫向累計50余項;主持省級以上職業教育重點項目16項，其中國家級精品課程、共享開放課程各1門。著有一作和獨著著作15本;已累計發表學術論文125篇。主筆的研究報告有4篇獲得省領導批示。曾獲得全國行指委教學成果一等獎、行業科技進步一等獎、湖湘智庫優秀成果獎等獎勵；獲評為湖南省普通高校教學名師、全國及省黃炎培職業教育傑出教師、湖南省科技創新領軍人才、湖南省121高層次人才、湖南省學科帶頭人。主要研究方向：機器學習及大數據技術、高等職業教育。

目錄

第1章極限 

知識樹 / 001

應用場景: 邊無窮多就成了圓 / 002

問題先導: 怎樣讓人感覺極限運算不復雜 / 003

1.1用動態和有界的觀點來理解極限 / 003

1.1.1怎麼理解動態和有界 / 003

1.1.2求連續函數的極限 / 004

1.2求函數極限的方法 / 005

1.2.1用圖形法求函數的極限 / 005

1.2.2理解無窮小和無窮大 / 007

1.2.3比較無窮小和無窮大的階 / 011

1.2.4會用極限的運算法則 / 015

1.3極限計算的示例 / 016

1.3.1一眼看出計算結果 / 016

1.3.2會用兩個重要的極限 / 017

1.3.3算算錢存到銀行裏3年後會有多少錢 / 019

1.3.4推導圓的周長和面積公式 / 020

1.4小結 / 022

第2章導數 

知識樹 / 023

應用場景: 爬陡坡更累 / 024

問題先導: 學習導數有什麼訣竅嗎 / 025

2.1用動態和微觀的觀點理解導數 / 026

2.1.1用圖形來理解導數 / 026

2.1.2用導數的定義計算導函數 / 029

2.1.3徹底講透導數的內涵 / 029

2.1.4理解可導與連續的關系 / 030

2.1.5學習常用的求導法則 / 031

2.2計算導數的方法 / 034

2.2.1會用復合函數的求導法則 / 034

2.2.2會用函數乘法的求導法則 / 035

2.2.3會用函數除法的求導法則 / 037

2.2.4會用三角函數的求導法則 / 038

2.2.5會求隱函數的導數 / 040

2.2.6會求反函數的導數 / 041

2.2.7其他計算法則 / 042

2.3高階導數 / 042

2.3.1理解高階導數的內涵 / 042

2.3.2初見泰勒公式 / 043

2.3.3初見麥克勞林公式 / 045

2.3.4運用泰勒公式和麥克勞林公式做近似計算 / 045

2.3.5用多項式擴展眼界表達可導函數 / 047

◎2.3.6推導出泰勒公式 / 047

◎2.3.7用泰勒公式比較導數定義中無窮小的階 / 049

2.4洛必達法則 / 050

2.4.1學會使用洛必達法則 / 050

◎2.4.2推導出洛必達法則 / 051

2.5用導數解決實際問題  / 053

2.5.1求極值點 / 053

2.5.2求拐點 / 055

2.5.3求自由落體物體的速度與加速度 / 059

2.6小結 / 060

第3章偏導數 

知識樹 / 061

應用場景: 房價隨影響因素的變化而變化 / 062

問題先導: 偏導數與導數有什麼不同 / 063

3.1用動態和微觀的觀點理解偏導數 / 064

3.1.1先會求偏導數 / 064

3.1.2理解偏導數的幾何意義 / 065

3.1.3引出偏導數的定義 / 067

3.2方向導數 / 068

3.2.1會計算二元函數的方向導數 / 068

3.2.2補充學習一些向量知識 / 071

3.2.3補充學習一些矩陣計算知識 / 073

3.2.4解決一個很多人的困惑 / 074

3.2.5理解什麼是梯度 / 075

3.3多元函數的凹凸性 / 077

3.3.1理解什麼是凸函數和凹函數 / 077

3.3.2如何判定一元函數的凹凸性 / 078

◎3.3.3如何判定多元函數的凹凸性 / 081

◎3.4多元函數的泰勒公式 / 087

3.4.1初見多元函數的泰勒公式 / 087

3.4.2理解泰勒公式的矩陣形式 / 088

3.5用偏導數解決實際問題 / 091

3.5.1運用偏導數考察合力隨平面位置的變化 / 091

3.5.2運用梯度做優化計算 / 092

◎3.5.3運用多元函數的泰勒公式做近似計算 / 097

3.6小結 / 098

第4章微分 

知識樹 / 100

應用場景: 從微觀角度理解矩形面積的增量和不規則圖形的面積 / 101

問題先導: 微分、導數、積分的知識是怎麼相通的 / 102

4.1用動態和微觀的觀點理解微分 / 103

4.1.1理解微分 / 103

4.1.2掌握微分的計算法則 / 105

4.1.3理解並計算偏微分和全微分 / 105

4.2極坐標系 / 107

4.2.1理解極坐標系 / 107

4.2.2什麼樣的函數適用於使用極坐標系 / 109

4.2.3理解多元函數的球坐標系 / 111

4.3中值定理 / 113

4.3.1理解羅爾中值定理 / 113

4.3.2理解拉格朗日中值定理 / 114

4.3.3理解柯西中值定理 / 114

4.4用微分解決實際問題 / 115

4.4.1用微分近似求面積的變化量 / 115

4.4.2用極坐標系和微分計算雷達中物體的速度 / 116

4.4.3用中值定理分析企業的生產成本 / 117

4.5小結 / 118

第5章不定積分 

知識樹 / 119

應用場景: 從註水速度函數反推出註水量函數 / 120

問題先導: 記住不定積分的公式有什麼辦法 / 121

5.1以導數為基礎反向理解不定積分 / 122

5.1.1理解原函數和不定積分的定義 / 122

5.1.2從幾何上理解不定積分 / 123

5.1.3從定義來看如何求不定積分 / 125

5.2計算不定積分的方法 / 126

5.2.1對應導數記憶不定積分公式 / 126

5.2.2從乘法、除法至深入學習分部積分法 / 128

5.2.3學習一些簡單的計算法則 / 132

5.2.4學會使用換元積分法 / 133

5.3用不定積分解決實際問題 / 134

5.3.1反推自由落體的距離計算公式 / 134

5.3.2用不定積分計算曲線的長度函數 / 135

5.3.3根據電流函數推導出電荷量函數 / 136

5.4小結 / 136

第6章定積分 

知識樹 / 137

應用場景: 計算水壩迎水面的壓力 / 138

問題先導: 計算定積分有什麼訣竅 / 140

6.1以不定積分為基礎理解定積分 / 141

6.1.1一字之差道出本質 / 141

6.1.2從幾何意義上理解定積分 / 142

6.1.3註意區分計算面積和計算定積分 / 143

6.2定積分的基本性質和一個定理 / 145

6.2.1理解定積分的可加性 / 145

6.2.2上下限變反導致定積分結果符號也變反 / 145

6.2.3兩函數的大小關系在定積分後仍然相同 / 145

6.2.4理解關於最大值與最小值的不等式性質 / 146

6.2.5理解定積分的中值定理 / 147

6.2.6做計算練習加深理解 / 147

6.3定積分的一些拓展知識 / 148

6.3.1理解求原函數的一個定理 / 148

6.3.2學會使用換元法求定積分 / 150

6.3.3理解廣義積分 / 151

6.4用定積分解決實際問題 / 154

6.4.1用定積分計算圖形的面積 / 154

6.4.2用定積分計算旋轉體的體積 / 156

6.4.3用定積分求自由落體運動下降的距離 / 159

6.5小結 / 160

第7章多重積分 

知識樹 / 161

應用場景: 計算不規則物體的面積和體積 / 162

問題先導: 二重積分計算的到底是面積還是體積 / 163

7.1再次用微觀和累加的觀點理解二重積分 / 164

7.1.1通過幾何意義理解二重積分 / 164

7.1.2理解二重積分的性質 / 165

7.1.3理解更高重的積分 / 166

7.2二重積分的計算 / 166

7.2.1先學會計算二重積分 / 166

7.2.2理解為什麼可以這麼計算 / 169

7.2.3如何計算積分區域為矩形時的二重積分 / 170

7.2.4學會對復雜的積分區域做劃分 / 173

◎7.3二重積分的拓展知識 / 174

7.3.1學會在極坐標系下計算二重積分 / 174

7.3.2學會計算曲線積分和環路積分 / 176

7.3.3學會計算三重積分 / 182

7.4用多重積分解決實際問題 / 187

7.4.1用二重積分計算平面薄板的質量 / 187

7.4.2用二重積分計算建築物地基承受的壓力 / 188

◎7.4.3用環路積分計算圓周運動的位移 / 189

7.5小結 / 190

第8章常微分方程 

知識樹 / 191

應用場景: 描述電源撤除後RL電路中電流的變化規律 / 192

問題先導: 求解常微分方程有什麼通用的思路 / 194

8.1常微分方程的定義及簡單的常微分方程 / 195

8.1.1理解什麼是常微分方程 / 195

8.1.2學會求解可分離變量方程 / 195

8.1.3學會求解簡單的齊次微分方程 / 196

8.2一階常微分方程 / 198

8.2.1學會求解一階齊次線性微分方程 / 198

8.2.2學會求解一階非齊次線性微分方程 / 200

8.2.3學會求解伯努利方程 / 204

◎8.2.4學會求解全微分方程 / 207

8.3二階常微分方程 / 211

8.3.1學會求解可降階的3種二階常微分方程 / 212

8.3.2理解二階線性齊次微分方程解的結構 / 215

8.3.3理解二階線性非齊次微分方程解的結構 / 217

8.3.4學會求解二階常系數線性齊次微分方程 / 218

8.3.5理解歐拉公式 / 223

8.3.6學會求解二階常系數線性非齊次微分方程 / 224

8.4用常微分方程解決實際問題 / 229

8.4.1用可分離變量方程求解熱茶冷卻的時間 / 229

8.4.2用一階線性微分方程分析RC電路的充電過程 / 230

8.4.3用二階線性齊次微分方程分析RLC電路 / 233

8.5小結 / 234

附錄A後續學習建議

參考文獻