線性代數——基礎、運算與應用

目錄CONTENTS

第1章矩陣、向量與線性方程組1

1.1線性方程組及其解1

1.2矩陣與線性方程組4

1.2.1矩陣的概念5

1.2.2矩陣的初等變換與行階梯型矩陣7

1.2.3初等行變換求解線性方程組11

1.3向量與線性方程組17

1.3.1向量的概念17

1.3.2線性方程組的向量形式20

習題124

第2章行列式26

2.1方陣的行列式26

2.1.1排列26

2.1.2行列式的概念29

2.1.3幾種特殊的行列式31

2.2行列式的性質及運算34

2.2.1行列式的性質34

2.2.2行列式的計算37

2.3行列式按行(列)展開39

2.3.1余子式及代數余子式39

2.3.2行列式按一行(列)展開40

2.4求解線性方程組的克萊姆法則45

2.5行列式的應用48

習題251

第3章矩陣的運算55

3.1矩陣的基本運算55

3.1.1幾種特殊的矩陣55

3.1.2矩陣的線性運算56

3.1.3矩陣的乘法59

3.1.4矩陣的轉置63

3.2分塊矩陣64

3.2.1分塊矩陣的概念65

3.2.2分塊矩陣的運算66

3.2.3分塊對角矩陣69

3.3矩陣的逆矩陣71

3.3.1方陣的逆矩陣71

3.3.2初等矩陣72

3.3.3伴隨矩陣與求逆公式77

3.4矩陣的秩79

3.4.1矩陣秩的概念79

3.4.2矩陣秩的相關結論82

3.4.3解矩陣方程83

3.5矩陣的應用88

習題392

第4章向量與向量空間96

4.1線性表示及向量組等價96

4.1.1向量組的線性表示96

4.1.2向量組的等價98

4.2向量組的線性相關性101

4.2.1向量組的線性相關與線性無關101

4.2.2向量組線性相關性的重要結論104

4.3向量組的秩107

4.3.1向量組的極大無關組和向量組的秩107

4.3.2向量組的秩與矩陣的秩的關系109

4.4線性方程組的解的結構112

4.4.1齊次線性方程組的解的結構112

4.4.2非齊次線性方程組的解的結構116

4.5向量空間118

4.5.1向量空間及其子空間118

4.5.2向量空間的基、維數及坐標119

4.5.3基變換與坐標變換122

4.6向量的應用125

習題4130

第5章相似矩陣及二次型136

5.1向量的內積與正交性136

5.1.1向量的內積與範數136

5.1.2規範正交基138

5.1.3施密特正交化140

5.2正交矩陣及正交變換142

5.3矩陣的特征值與特征向量145

5.3.1方陣的特征值及其特征向量145

5.3.2特征值及特征向量的性質149

5.4相似矩陣152

5.4.1方陣相似的概念與性質153

5.4.2方陣的相似對角化155

5.4.3實對象矩陣的相似對角化156

5.5二次型及其標準型159

5.5.1二次型及其標準型的概念160

5.5.2化二次型為標準型的合同變換法161

5.5.3化二次型為標準型的正交變換法163

5.5.4化二次型為標準型的配方法166

5.6正定二次型與正定矩陣168

5.7二次型與矩陣特征值的應用171

5.7.1二次型與二次曲線171

5.7.2斐波那契數列的通項172

5.7.3馬爾可夫鏈的穩態174

習題5176

第6章線性空間與線性變換179

6.1線性空間及其子空間179

6.1.1線性空間的概念179

6.1.2線性空間的性質181

6.1.3線性空間的子空間183

6.2線性空間的基、維數與坐標184

6.2.1基、維數與坐標的概念184

6.2.2基變換與坐標變換185

6.3線性變換188

6.3.1線性變換的概念188

6.3.2線性變換的性質190

6.3.3線性變換的矩陣表示191

6.3.4線性變換的應用194

習題6196

參考文獻199