數學物理方程：從常微分方程到偏微分方程

第1篇 常微分方程
第1章 常微分方程基礎
1.1 基本概念
1.2 一階常微分方程
1.2.1 一階常微分方程積分曲線解法
1.2.2 分離變量法
1.2.3 線性一階常微分方程的通解
1.2.4 全微分方程
1.2.5 無法導出導數形式的一階微分方程
1.3 二階和高階微分方程
1.3.1 降階法
1.3.2 齊次和非齊次線性常微分方程
1.4 常系數線性微分方程
1.4.1 齊次常系數線性微分方程
1.4.2 非齊次常系數線性微分方程的待定系數法
1.5 非常系數線性微分方程
1.5.1 求解齊次方程的降階法
1.5.2 求解非齊次方程的變易系數法
1.5.3 歐拉方程
1.5.4 非齊次線性微分方程的初值問題
1.5.5 二階線性微分方程邊值問題與格林函數
1.6 線性常微分方程組
1.6.1 消元法求解微分方程組
1.6.2 常系數線性微分方程組
1.7 常微分方程的解析近似方法
1.7.1 疊代法
1.7.2 微擾方法
1.7.3 多尺度展開法
習題
第2章 二階常微分方程的級數解法和特殊函數
2.1 二階線性微分方程的冪級數解法
2.1.1 冪級數的基本性質
2.1.2 常點附近二階線性微分方程的級數解法：以艾裏函數為例
2.2 奇點附近二階線性微分方程的解法：以超幾何函數為例
2.3 特殊函數
2.3.1 柱函數
2.3.2 勒讓德多項式
2.3.3 第一類連帶勒讓德函數
習題
第3章 平方可積函數空間和完備正交函數集
3.1 希爾伯特空間
3.1.1 希爾伯特空間和平方可積函數空間
3.1.2 正交歸一函數集的完備性和廣義傅裏葉級數
3.2 傅裏葉級數
3.2.1 傅裏葉級數
3.2.2 傅裏葉余弦和正弦級數
3.2.3 半區間延拓
3.2.4 傅裏葉級數的覆數形式
3.3 施圖姆-劉維爾本征值問題
3.3.1 邊值問題與算符的本征方程
3.3.2 自伴算符
3.3.3 二階微分方程的正則和非正則施圖姆-劉維爾本征值問題
3.3.4 二階微分方程施圖姆-劉維爾本征值問題的性質
3.4 傅裏葉-貝塞爾級數
3.5 傅裏葉-勒讓德級數
3.6 經典正交多項式理論基礎
3.6.1 經典正交多項式
3.6.2 經典正交多項式的性質
習題
第2篇 偏微分方程
第4章 數學物理方程的導出
4.1 偏微分方程的基本概念
4.2 一些重要的數學物理方程
4.2.1 波動方程
4.2.2 熱傳導方程
4.2.3 拉普拉斯方程和泊松方程
4.2.4 薛定諤方程
4.3 數學物理問題的建立
4.3.1 初始條件和邊界條件
4.3.2 疊加原理
4.4 二階線性偏微分方程的分類
4.4.1 二階線性偏微分方程的類型
4.4.2 二階線性偏微分方程的標準形式
4.4.3 常系數線性偏微分方程
習題
第5章 直角坐標系中的偏微分方程
5.1 利用分離變量法求解一維空間中的偏微分方程
5.1.1 齊次波動方程齊次邊界條件問題
5.1.2 一維空間中的齊次熱傳導方程
5.1.3 一維空間中的非齊次波動和熱傳導方程
5.1.4 一維空間中非齊次邊界條件波動和熱傳導方程
5.2 達朗貝爾方法
5.2.1 無限大區間情形
5.2.2 半無限大區間情形
5.2.3 有限區間情形
5.3 沖量定理法
5.4 分離變量法求解二維空間中的拉普拉斯方程
5.5 本征函數展開法求解二維空間中的泊松方程
5.6 二維空間中的波動和熱傳導方程
5.7 三維空間中數學物理方程的定解問題
5.8 極值原理
5.8.1 熱傳導方程的最大值原理
5.8.2 拉普拉斯方程的極值原理
習題
第6章 極坐標系和柱坐標系中的偏微分方程
6.1 拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程的一般乘積解
6.2 極坐標系中的拉普拉斯方程
6.3 圓形區域內的亥姆霍茲方程和泊松方程
6.3.1 亥姆霍茲方程
6.3.2 泊松方程
6.4 極坐標系中的波動方程和熱傳導方程
6.5 圓柱體內的拉普拉斯方程
6.6 圓柱體內的泊松方程、波動方程和熱傳導方程
習題
第7章 球坐標系中的偏微分方程
7.1 拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程的一般乘積解
7.1.1 角度部分
7.1.2 球諧函數
7.1.3 拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程的乘積解
7.1.4 平面波用球面波展開
7.2 球坐標系中的拉普拉斯方程
7.3 亥姆霍茲方程本征值問題及其應用
7.3.1 球形區域的亥姆霍茲方程
7.3.2 球形區域的泊松方程
7.3.3 球形區域的非齊次熱傳導方程
7.3.4 球形區域內的非齊次波動方程
習題
第8章 傅裏葉變換法和拉普拉斯變換法
8.1 利用傅裏葉變換求解偏微分方程
8.1.1 在無限區域求解偏微分方程
8.1.2 在半無限區域求解偏微分方程
8.2 利用拉普拉斯變換求解偏微分方程
習題
第9章 格林函數方法
9.1 泊松方程的格林函數方法
9.1.1 格林公式及其在證明解唯一性方面的應用
9.1.2 泊松方程的基本積